中考數學專題系列八：中點四邊形方法談

中考數學專題系列八：中點四邊形方法談

作者 卜凡

把“順次連線四邊形各邊中點所得到的四邊形”統一稱為“中點四邊形”。比如“把矩形的各邊中點順次連線所得到的四邊形”稱其為“矩形的中點四邊形”，以此類推。初中涉及到的“中點四邊形”主要有以下十種情況：

（1）任意四邊形的中點四邊形

（2）平行四邊形的中點四邊形

（3）矩形的中點四邊形

（4）菱形的中點四邊形

（5）正方形的中點四邊形

（6）梯形的中點四邊形

（7）等腰梯形的中點四邊形

（8）對角線相等的四邊形的中點四邊形

（9）對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形

（10）對角線互相垂直且相等的四邊形的中點四邊形

像這類題通常出現在選擇題中或者作為綜合題的一個小知識點出現。如果對“中點四邊形”理解不透，在做選擇的時候猶豫不定，拿不準哪個選項是正確的，出現蒙的現象；在做綜合題的時候，解題思路受阻，影響能力的提高。

有的同學也認識到了“中點四邊形”的重要性，但是掌握起來時，覺得都很相似，容易混淆。其實找準了方法，就會一通百通，容易得很。真正是天空飄來五個字“那都不是事”。這麼神奇的方法是什麼呢？那就是看“原來四邊形的對角線的關係”。現以矩形為例進行說明。

例題： 已知矩形ABCD，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，試判斷四邊形EFGH的形狀。

分析：因為四邊形ABCD是矩形，而矩形的對角線相等，所以連線AC、BD，得AC=BD，且EF、FG、GH、HE分別是△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的中位線。

根據三角形的中位線的性質，得（1）EF=GH=AC，EF∥AC∥GH； （2）EH=FG=BD，EH∥BD∥FG。

由EF=GH， EF∥GH或EH=FG，EH∥FG都能得到四邊形EFGH是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

由EF=GH，EH=FG也能得到四邊形EFGH是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

由EF∥GH，EH∥FG也能得到四邊形EFGH是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

不論哪種方法，四邊形EFGH已經是平行四邊形了，又因為AC=BD，所以EF=GH=EH=FG，這樣四邊形EFGH就是菱形了。

同學們不妨利用上述方法判斷一下其它形狀的四邊形的中點四邊形的形狀，透過研究就會得出以下結論。

總結：所有四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形，在此基礎上，

（1）若原四邊形的對角線相等，則中點四邊形就是菱形

（2）若原四邊形的對角線垂直，則中點四邊形就是矩形

（3）若原四邊形的對角線既相等又垂直，則中點四邊形就是正方形

（4）若原四邊形的對角線既不相等又不垂直，則中點四邊形就只能是平行四邊形了

總之，一個四邊形的中點四邊形究竟是什麼形狀的四邊形，只與原四邊形的對角線有關，所以只要根據已知條件得出原四邊形的對角線的關係，也就判斷出了中點四邊形的形狀。說到這兒，你是不是一通百通了