縱尋最值千百次，不如隱圓顯形把它制

縱尋最值千百次，不如隱圓顯形把它制

在上一節最值問題探討中，我們利用了圓內一點到圓周上的距離，即這一點到所在直徑兩端為最長或最短，然而最值問題在加入圓概念之後，更顯變化多端，最關鍵之處在於，讓隱圓顯形，即構造出這樣的圓。

題目

問題提出

（1）如圖1，已知△ABC，試確定一點D，使A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形；

問題探究

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個面積最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求滿足條件的點P到點A的距離；

問題解決

（3）如圖3，有一座塔A，按規劃，要以塔A為對稱中心，建一個面積儘可能大的形狀為平行四邊形景區BCDE。根據實際情況，要求頂點B是定點，點B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°。那麼，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請說明理由。（塔A的佔地面積忽略不計）

解析：

（1）這樣的平行四邊形有三個，即分別以AB、BC、AC為對角線，其餘兩邊為平行四邊形的鄰邊，實際只需要畫一個即可，如下圖：

（2）仔細讀題，發現題目中暗示頗多，也意味著條件給出得也多，看能否全部解讀出來。

要求作出的△BPC中，BC是矩形的一條邊，同時要求面積最大，則點P只可能在邊AD上，且在AD上任意一點，△BPC面積都最大，這是解讀的第一層，然後再看條件∠BPC=90°，這需要聯想到直徑所對的圓周角，以BC為直徑作圓，圓與AD的交點即為點P，如下圖：

不妨先求靠近點A的第一個點P1，過點P1作P1E⊥BC，連線OP1，在Rt△OP1E中，利用勾股定理求出OE=3，於是BE=2，即AP1=2；同理，DP2=2，則AP2=8；

（3）塔A為對稱中心，且點B為定點，意味著這個平行四邊形已經確定了中心和兩個相對頂點，再加上∠CBE=120°，即四個內角大小也確定，在這些前提條件下，平行四邊形究竟還能怎樣畫？

在鄰邊位置變化的條件下，夾角卻不變，有沒有哪個幾何圖形具備這樣的特徵呢？答案是圓周角。

既然點B和D已經確定，頂點E不確定，那麼我們不妨作出△BDE的外接圓，如下圖：

由於∠CBE始終是120°，因此∠BED始終是60°，平行四邊形的面積始終是△ABE面積的4倍，因此我們只需要重點觀察這個三角形面積是如何變化即可。

△ABE的底為AB，過點E作AB邊上的高EF，在優弧BED上，哪個點到弦BD的距離最遠呢？答案是垂直於這條弦的直徑與優弧的交點，如下圖：

此時點F與A重合，對於平行四邊形BCDE來講，EA是其對角線的一部分，它與BD垂直，意味著這個平行四邊形已經成為了一個菱形，而菱形的面積可用對角線乘積的一半來求，在Rt△ABE中，根據菱形對角線平分一組對角，可得∠BEA=30°，因此AE=50√3米，所以可求得菱形最大面積為5000√3米。

解題反思

隱圓之所以是隱，是有目的的，解題過程中，需要根據題目需求復原它，本題中，正是那個不變的角引導我們聯想到圓周角，從而想到圓。而我們當初在學習圓周角定義的時候，對於圓周角定義的理解是否深刻，便決定了在解本題時，能否順利想到。

所以對平時教學中，圓周角的定義，不能僅僅滿足於教材中的描述，頂點在圓周上，兩邊是圓內的兩條弦之類的表面功夫，而需要透過變式訓練來加深理解。