HaoR數學讀本 | 雞兔同籠問題

問題由來：

中國古代《孫子算經》共三卷，成書大約在公元5世紀。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術題，比如“雞兔同籠”問題：

今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

“雞兔同籠”是中國古代著名的數學題，在人教版四年級數學中是的一個學習重點，許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題，或者用解它的典型解法——“假設法”來求解。

在小學奧數的一些書籍中，給出了“雞兔同籠”問題的公式，應對不同的情況使用不同公式來解決，這些公式也是根據方程推出來的，小學六年級學生可以重溫這個知識點，真正梳理一下這裡的解題思路，清楚這些公式的來龍去脈，以便我們後面更好地學習其他應用題。

　　例題：雞兔在一個籠子裡，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳。問籠中各有多少隻雞和兔？

　　【一題多解】

★ 第一種思考：

用假設法：

①假設籠子裡全部是雞，就是兔子變成了雞，那麼籠子裡就有35只雞，對應的就是2×35=70只腳。

現在籠子裡總共有94只腳，

多了94 - 70 = 24只腳，

為什麼會多24只腳呢？

因為籠子裡不可能全部是雞，肯定是有兔子，因為一隻兔子比一隻雞多兩隻腳。

現在放進去一隻兔子，拿出一隻雞，那麼籠子裡就會在70只腳的基礎上多2只腳。

現在籠子裡多了24只腳，意思就是放入24÷2=12只兔子。

雞數：35 - 12 = 23（只）

上面是透過假設籠子裡全部是雞，再透過腳數的變化來解題的，如果假設籠子裡全部是兔子行不行呢？可以的，仍然用假設法，道理也是一樣的。

②假設籠子裡全部是兔子，就是籠子裡的雞都變成兔子，那麼籠子裡就有35只兔子，對應的就是4×35=140只腳。

現在籠子裡總共有94只腳，

差了140 - 94 = 46只腳，

為什麼差46只腳呢？

一隻雞變成兔子，就差了4 - 2 = 2只腳，

差46只腳，意思就是46 ÷ 2 = 23只雞變成了兔子，

兔子數：35 - 23 = 12（只）

　　★ 第二種思考：

上面的兩種思考方法是可以理解為先從上面看，即先確定頭數，然後根據下面的腳數來調整雞和兔的數量，直到達到正確合理的值，同時滿足兩個條件：從上面看頭數為35，從下面看腳數為94，從而求出實際的值。

先從下面的腳數來思考也是一樣的。

③比如，下面總共有94只腳，我們假設全部是雞，每隻雞有2只腳，那麼應該就有94÷2=47只雞，可是實際上總共最多也就35只雞（題目條件：從上面看總共35頭）。

那麼，可以來置換，在保證腳數不變的情況下，減少頭數。

注意：換的目的就是要保證從下面看腳數是94，從上面看頭數是35。

開始換，怎麼換呢？

一隻兔子4只腳，相當於2只雞的腳數。

也就是說，每次拿出2只雞，換進去1只兔子，可以保證腳數是不變的，是94，而從上面看，頭數就減少了1只。

要換多少隻雞呢？

要拿走（47 - 35）×2 = 24只雞，換進去24÷2=12只兔子。

這樣，從上面看就是35頭，從下面看是94只腳。

（

假如上面不好理解的話，用方程就清楚多了。

假設要換走K只雞，那麼沒有換走的雞加上換進來的兔子的總數就是35，也就是

47 - K + K÷2 = 35

K = 24，也就是換進來12只兔子了。

）

好了，我們這裡是先從腳數為94然後再假設全部是雞來思考的，如果假設全部是兔子行不行呢？94÷4是除不盡的，怎麼思考呢？

　　★ 第三種思考：

基於同樣的運算，但邏輯不同。

④比如，按腳法。

從上面看35頭，對應的如果是雞，應該是35×2=70只腳，現在還差94-70=24只腳。

那麼就應該把24只腳按到雞上，每隻雞按2只的話雞就變成了兔子。

按24÷2=12只，所以有12只雞變成了兔子，雞數：35-12=23（只）。

⑤再比如：抬腳法。

從上面看35頭，裡面混著雞和兔子，每隻都抬2只腳，那麼地上就站了94-35÷=24只腳，這些腳沒有雞了，因為每隻雞都只有兩隻腳，只剩下兔子的腳了，有多少隻呢？

24÷2=12（只），雞數：35-12=23（只）。

上面的幾種思考主要應用的算術思維來做的，下面我們看看方程的解法。

　　★ 第四種思考：

⑥假如我們設雞數為K，那麼

從上面看，兔子的頭數應該是35 - K。

從下面看，兔子的頭數應該是（94 - 2×K）÷4

這兩個數字應該是相等的，也就是

35 - K = （94 - 2×K）÷4

解得 K=23

雞數為23，兔數為35 - K =12

在《方程①》專輯裡，我們說過，二元一次方程組，都可以劃歸為一元一次方程。

所以，這裡設定兩個未知數也是可以的。

假設雞數為X，兔數為Y。

從上面看，頭數為35，也就是

X+Y=35

從下面看，腳數為94，也就是

2X+4Y=94

然後解這樣和上面的本質是一樣的。

最開始的時候我們講過表格法，還有其他的解法，這裡就不再一一列舉。

很多人對抬腳法津津樂道甚至

謂之

神奇：

你知道嗎？【抬腳法】應用的也是方程法，我們來分析：

“讓雞和兔子同時抬兩條腿”， ①×2 ==> 2×X+2×Y=2×35=70

“籠子裡剩餘94-35×2=24條腿”， ② - ① ==> 2×Y=95-70=24

“這些腿是兔子的，每隻兔子剩餘2條腿，那麼就有12只兔子” ==> Y=24÷2=12

還會覺得【抬腳法】神奇嗎？！

在你領悟到這些後，無論試題怎麼變化，甚至其他類似的題目，你都可以用“【抬腳法】”來展示“神奇”，當然也不一定抬腳了，可能是其他的動作，但你對更明白其中的道理，因為知道根（原理）在方程上。

下面我們看看雞兔同籠問題的變化題型。

　　【一題多變】

　　變化題1：條件變化①

　　雞兔在一個籠子裡，從上面數有35個頭，兔子的腳數比雞的腳數多2只。問籠中各有多少隻雞和兔？

　　變化題2：條件變化②

　　雞兔在一個籠子裡，雞頭比兔子頭多11個，從下面數有94只腳。問籠中各有多少隻雞和兔？

　　變化題3：多種動物問題

　　例題：有雞、兔、鴨三種動物共42只，共有腿108條，其中雞比兔子多11頭，問鴨多少隻?

　　變化題4：數錢幣問題

　　例題：已知2元和5元的紙幣共18張，總共69元，問2元紙幣和5元紙幣各多少張?

　　變化題5：種樹問題

　　例題：五小的師生共35人植樹，已知學生每人種樹2顆，老師每人種樹4顆，師生共植樹94顆，問老師和學生各多少人?

　　變化題6：買水果問題

　　例題：小明去買蘋果和梨子，第一次買了一斤蘋果和一斤梨子花了35元，第二次買了2斤蘋果和4斤梨子花了94元，問蘋果和梨子各多少錢一斤?

　　變化題7：行程問題

　　例題：小明和小宋分別騎腳踏車從相距94公里的兩地相向而行，他們兩個的速度和是35公里/小時，在他們相遇時小明騎了2個小時，小宋騎了4個小時，問小明和小宋的速度各是多少公里/小時?

　　變化題8：乘船分配問題

　　例題：五小老師帶學生共94人去划船，已知小船每船坐2人，大船每船坐4人，大船和小船共35只，問大船和小船各多少隻?

　　變化題9：比賽問題

　　例題：體育館共94人進行乒乓球比賽，問單打和雙打的球檯各多少張?

　　變化題10：面積問題

　　例題：已知長方形ABCD和長方形DEGH的面積之和為94，AD+DE=35，AB=2，GE=4，求AD和DE的長。

還可以變化出其他的一些應用題，看生活中遇到的的具體問題，比如住宿問題（2人間、4人間）、運輸問題（小車運2噸，大車運4噸）、三輪車與汽車的個數等等，看你的思考了。

　　【多題一解】

變換題型4～10都基於下面的方程組：

X+Y=35

2X+4Y=94

也就是說，變換題型44～10的解法完全一樣。

由此可以理解，基於相同的數學模型，當然解法是一樣的了。

進一步說，基於相似的數學模型，解法也是相似的。

明白了這一點，逆向思維一下，嘗試著根據下面的方程組來出應用題：

第一組方程：

2X+3Y=31

5X+7Y=75

第二組方程：

2X+3Y=31

5X-7Y=5

最後，我們稍微深入思考一下，為什麼用方程來解可以變換出那麼多的解法和題型？

　　【競賽真題】

　　1、有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，2對翅膀；蟬6條腿，1對翅膀），問蜻蜓多少隻?

　　（北京市“迎春杯”競賽試題）

　　2、圍棋24元一副，象棋18元一副，用300元恰好可以購買兩種棋共14副，其中象棋多少副？

　　（2015年希望杯數學競賽四年級第2試）

　　3、一隊獵手一隊狗，兩隊並著一起走，數頭一共一百六，數腳一共三百九，則有多少名獵手和多少隻狗？

　　（2007年希望杯數學競賽四年級第1試）