（九年級第2講）一元二次方程的解法直接開平方及配方法

第一次與你邂逅應該在初一，那時的你是這副模樣：x²=4——單純而美好，一瞬間我走進了你的視線，帶著“平方根”的甜言蜜語，輕而易舉就俘獲了你的“心”（根）——x=±2，，到了初三我才知道原來你有一個那麼率真的名字——“直接開平方”，再次相遇，是否還如初見般美好？

一、直接開平方法——平方根

適用於

已形成完全平方式

的情況

【理論基礎】平方根的性質

正數有兩個平方根，它們互為相反數

0的平方根是0

負數沒有平方根

我們再來看一般情況：

注：

上述解法，正好與平方根的性質相對應

，如透過觀察我們發現

“當p≥0時，方程有實根”與“非負數才有平方根”也是相對應的

，請同學們認真體會。至於當p=0時，為什麼不說方程有一個實根，而說成有兩個相等實根，初學時可能會有疑問，我們會在學完所有解法之後再做解釋。

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參照上面的結論，我們再來求下面的方程：

【練習】

（1）9x²-5=3

（2）3（x-1）²-6=0

（3）x²-4x+4=5

（4）9x²+4=0

<參考答案>

（1）±2√2/3

（2）1±√2

（3）2±√5

（4）無實根

【理解】

1、在利用直接開平方法時，要注意左邊一定要先化為一個完全平方的形式，也就是

透過變形，得到x²=p或(x+n)²=p的形式

，注意要

把x²和(x+n)²前面的係數化為1之後再開平方

；

2、在學習一元二次方程時，我們會經常碰到方程無實根的情況，如【練習】中的（4）這是在學習一元一次方程時不太常見的，需要同學們多留心；

3、對於ax²+c=0或a（x+n）²+c=0，我們會發現當a、c異號時，方程才有實數根

二、配方法——"一切為了開方"

對於一元二次方程x²+6x+3=0，我們能否化成x²=p或（x＋m）²=p的形式？

觀察發現：對於x²+6x+3=0，左邊有二次項、一次項，我們只需要想辦法利用等式性質，在兩邊加上一個數，使得左邊能配成一個完全平方式即可

移項得，x²+6x=-3

方程兩邊都加上

一次項係數一半的平方

即9得，x²+6x+9=-3+9

於是，得到：（x+3）²=6

這樣就轉化成了可以直接開方的形式

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而對於一元二次方程2x²-4x-3=0，由於其

二次項係數不為1

，所以需要處理，即

多一個步驟——"係數化為1"

移項得，2x²-4x=3

係數化為1

得：x²-2x=3/2

【配方法求解的一般步驟】：

①移項

，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項

②將二次項係數化為1

；

③方程兩邊都加上一次項係數一半的平方

；

④原方程變為(x＋m)²=p的形式

；

⑤直接開平方

，得到兩個一元一次方程

⑥求解

【練習】

（1）x²-8x+1=0

（2）2x²+1=3x

（3）3x²-6x+4=0

<參考答案>

（1）4±√15

（2）1或1/2

（3）無實根

【理解】

1、

利用配方法的前提是將二次項係數化為1

（這是準備工作）

；

2、

利用配方法的關鍵步驟自然是配方，其方法是：方程兩邊同加一次項係數一半的平方

（這是關鍵點）

；

3、

透過開平方實現降次的目的

，進而把一元二次方程轉化為一元一次方程來求解

【課後練習】

請同學嘗試利用配方法解關於x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）