5.高中數學解題之均值不等式連用(一)

前一篇文章的最後，我給了兩道練習題，今天具體講一下其中的練習2

例：

（2010年四川卷）

設a＞b＞0，則a²＋1/（ab）＋1/（a²－ab）的最小值是___

先審題：

透過觀察代數式a²＋1/（ab）＋1/（a²－ab），我們注意到b與a－b是輪換對稱的

不妨設t＝a－b＞0，則a＝t＋b

∴原式

＝（t＋b）²＋1/［（t＋b）b］＋1/［（t＋b）t］

＝（t＋b）²＋1/（bt）

換元之後式子變得更對稱了，所以我們可以很快看出來後面兩項需要進行合併，下一步呢？

直接使用兩次均值不等式即可

由於t＋b≥2√（tb），

所以（t＋b）²≥4tb

∴原式

≥4tb＋1/（tb）

≥4

答案就是4

回顧一下上面的過程，每一步都是水到渠成，但是各位是否有一個疑惑，憑什麼我均值不等式能用兩遍，之前不都是用一遍嗎？

這裡就需要解釋一下了：

我們都知道，n個未知數需要n條方程確定其值，而我們求出多項式最值的同時也確定了多項式取最值時各未知數的值，比如上面那道題的二元多項式，在我們得到最小值4的同時，我們可以利用兩次的取等條件計算出此時a、b的值。

透過以上論述，我們可以知道為什麼要用兩次均值不等式了，

因為我們要求出最值，則必須要確定a、b的值，由於確定a、b的值需要兩條方程，而題目中沒有給出關於a、b的方程，所以我們需要兩個取等條件(即兩條方程)

寫成數學關係如下：

均值不等式的使用次數=待求式子未知數的數量－題目給出的方程的數量

上面說的內容是為了幫助你們理解為什麼有時候用兩次均值不等式，而有時候只用一次。

我們在學習數學的過程中，千萬不能僅僅侷限於做出某道題目，而應該真正地理解每一個做法的內涵，習慣

多問一步“我們為什麼這麼做”

，長此以往，你的數學水平一定會有顯著的進步。

總而言之，

做題只是學好數學的必要條件，理解才是學好數學的充要條件。

最後，我們看一道題

做之前這道題，我有以下問題：

你們覺得這題有多少個未知數？

題目給了多少個方程？

解決它要用幾次均值不等式？

為什麼？

題目如下：

設正實數x，y，z滿足x²－3xy＋4y²－z＝0，則（xy）/z的最大值為___

答案：1