淺談相似證明計算題型的解題基本數學素養

一道相似的幾何證明或計算題，不是說熟悉了相似性質或相似判定，就可以從容解決的，它會涉及到我們的很多數學知識和能力，其中有四項基本數學能力最重要。

一。會審圖

①基礎要求：題目已知條件、所求結論能在圖形上得到體現；

②關鍵內容：想“辦法”（性質、定理等）拉近已知條件、所求結論之間的圖形位置；

例1。已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然後它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖1，菱形ADFE為△ABC的親密菱形。如圖書2，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以點 為圓心，以任意長為半徑作AD，再分別以點A和點D為圓心，大於1/2AD長為半徑做弧，交EF於點B，AB//CD。

（1）求證：四邊形ACDB為△CFE的親密菱形；

（2）求四邊形ACDB的面積。

解析：中等難度題型，以閱讀理解題型考查菱形的證明與計算、尺規作圖。

（1）證明：由尺規作圖痕跡可得：AC=CD，AB=DB，BC是∠FCE的角平分線，

則：∠ACB=∠DCB，又∵AB//CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，

又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA， 四邊形ACDB是菱形。∵∠ACD與∠FCE重合，它的對角∠ABD的頂點在EF上，∴四邊形ACDB為△CFE的親密菱形。

（2）解：

【點評】

審圖，不僅要審出圖形與題目條件間的關係，又要透過各條件的圖形位置，初步建立起論證的方向或大致思路，此題不管是證明親密菱形，還是求解四邊形的面積，均利用到了這一點，來尋找到解題思路線。

二。典型圖形、模型要熟悉—-能從題目特點或圖形特點能迅速明確

例2。如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP

（1）求證：AD*2=DP×PC；

（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，並說明理由；

（3）如圖2，連線AC，分別交PM，PB於點E，F，若DP：AD=1：2，求EF：AE的值。

解析：（1）相似的“一線三垂直模型”。“乘積式”轉化成“比例式”

（AD*2=DP×PC→AD：DP=PC：AD），再利用等量代換（CB=AD）及相似的“一線三垂直模型”證相似（△ADP∽△PCB）即可。

（2）“角平分線+平行線=等腰△模型”。∵∠DPA=∠MPA，∠ADP+∠CPB=90°，∠MPA+∠BPM=90°，∴∠CPB=∠BPM（即PB是∠CPM的角平分線），

再加上PC//BM，易得△PMB是等腰三角形，PM=BM；易證四邊形CPMB是平行四邊形，∴易得平行四邊形CPMB是菱形；

（3）“角平分線+平行線=等腰△模型”+兩個相似的“8字模型”

【點評】

數學典型圖形、典型模型，是初中幾何題，特別是中等難度題題目設定中運用最多最廣的背景圖，若我們能從圖形中快速識別這些圖形或模型，對解決好初中幾何題的幫助是非常大的。如此題中的“一線三垂直模型”、“角平分線+平行線=等腰△模型”、相似的“8字模型”，均是出現頻率極高的圖形或模型，它為我們順利快速解決此題，提供了思路上的極好的“突破口”。

三。典型題型、方法要熟悉

例3。在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD，BE相交於點F，且AF=4，EF=√2，則AC= ____．

【點評】

角平分線是初中幾何中重要五線之一，當題目出現一條角平分線、兩條角平分線時，它們的思考方向、輔助線新增，都存在一定的規律性，此題的思考方向恰恰利用了角平分線的“兩條”到“三條”的轉化規律進行解題的。

四。思路分析過程要講究“解題思路的延續性”

例4。已知菱形ABCD，E、F是動點，邊長為4，BE=AF，∠BAD=120°，則下列結論：①△BCE≌△ACF；②△CEF是正三角形；③∠AGE=∠BEC；④若AF=1，則EG=3FG。

正確的有（ ）個

A。 1 B。 2 C。 3 D。 4

解析：（1）∵BE=AF、∠B=∠FAC=60°，BC=AC，∴△BCE≌△ACF，①正確；

（2）∵△BCE≌△ACF，∴∠BCE=∠ACF，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠ACF+∠ACE=60°，即∠FCE=60°，∵EC=FC，∴△CEF是正三角形，②正確；

（3）△AEG與△FGC組成“8字模型”，故∠AEG=∠ACF，∵∠ACF=∠BCE，∴∠AEG=∠BCE，∵∠B=∠EAG，∴∠BEC=∠AGE，③正確；

（4）∵AG平分∠EAF，由角平分線相似性質可得：AE：AF=EG：GF，∵AF=BE=1，AB=4，∴AE=3，∵AE：AF=EG：GF=3：1，④正確；

【點評】

①的全等證明，加上等量代換即可以驗證②；①的全等結論，加個一個數學典型圖形，便可以論證③；而①②③的論證，為④不僅提供了計算條件，更為④的解題思路方向圖形位置的思路區域，這種解題思路的延續性，在多結論題型中得到了充分的體現。