SOS—操弄對稱的相似原理 (上)

螺旋對稱是怎麼對稱的

對 稱

寰宇無形亦有形

古來人物若繁星

高低美醜芳千萬

莫不虔誠對稱聽

00

編者按

《吳越春秋》說：天下之愚，莫過於斯，知貪前之利，不睹其後之患也。翻譯成白話文就是：只貪圖眼前的利益，而看不到身後的禍患，天下沒有比這更愚蠢的了。這句話看起來與本文毫無關係，不過，網路作者王鵬先生點評說：

物理學講時間對稱效能夠推匯出能量守恆，這是天理。

他繼而推廣曰：人間的道理也是一種天理。知道當前的利益，而不知之後的禍害，就是對天理的無知，也就是對對稱性和守恆的無知。很嚇人吧！

我們不知王鵬先生是否是一位物理人、其此類推廣是不是有天理，但“對稱性是天理”這樣的論點讓這篇譯文有了開始的意涵。這篇譯文，乃譯者李翔博士根據國際凝聚態物理知名學者 Sang-Wook Cheong 最近發表在

npj Quantum Materials

4， 53 （2019） 上的一篇文章“

SOS： symmetry-operational similarity

”意譯而成，分為上下兩篇。全文貫注了譯者自身的諸多理解與發揮，因此不僅僅是對原文的直譯。

圖1。 對稱性就是天理。

https：//i。ytimg。com/vi/X6HobTJ2jnk/maxresdefault。jpg

https：//www。youtube。com/watch？v=X6HobTJ2jnk

01

引子

自古以來，人類對自然界中許多事物所展現的對稱性痴迷不已。早在公元前的西漢時代，《韓詩外傳》就指出：“凡草木花多五出，雪花獨六出”。這似乎是有史以來第一次思考雪花對稱性之獨特的記載。幾千年來，人們在各種建築物、文化符號 （如太極圖）、手工藝品及裝飾圖案等中引入了許多對稱性概念，並且人體本身也包含著大量的對稱元素和對稱美的考量。不過，我們今天要講的內容，卻是要“打破”這種對稱性。例如，在忽略一些細節時，左右手實際上是鏡面對稱的。假如不幸左手食指上出現一道難以恢復的巨大傷疤，此時，就稱這一鏡面對稱性破缺了。或者，我們小心翼翼地除去雪花一角，它的六重旋轉對稱性也破缺了。雖然這種破缺可能是美學所忌諱的，但對稱破缺闡釋了生活及物理中最本質的意向：只有對稱破缺的，才是豐富多彩的。當某件事、某件物過於對稱和美麗時，可能破缺就要降臨了。

事實上，所謂“對稱性破缺”，可以簡單理解為原來具有較高對稱性的系統，由於出現不對稱因素，其對稱程度自發降低。這一概念在物理學中意義非凡。在過去的半個多世紀裡，夸克、t 中微子以及希格斯玻色子的實驗發現，稱得上是科學史上的偉大成就。而洞見這些基本粒子存在的標準模型之實質與精髓，便是對局域SU（3） × SU（2） × U（1） 規範對稱性及其自發對稱性破缺的分析。限於本文篇幅和譯者水平，我們將不會、也沒必要去討論這一規範對稱性。事實上，不僅僅是粒子物理，在凝聚態物理中，對稱性及其破缺更是與眾多的物理現象息息相關，諸如和相變相關的極化/磁化現象、強光照射下二次諧波發生、多種非互易二極體效應等等。

對稱性及其破缺理論，在自然界中比比皆是，與各種物理現象如影隨形。本文將不拘一格，從物理學中的對稱性破缺出發，引出所謂

對稱操作相似(symmetry operational similarity, SOS) 原理

，作為一柄“拙樸之劍”贈與各位醉心於凝聚態物理而不能自拔的學者，以期幫助讀者深入理解各種複雜材料中的物理影象，乃至甄別新材料，抑或發現新奇的物理現象。願讀者循序漸進，細細品嚐其中韻味。

我們知道，與晶體相關的重要對稱性共有五類，即平移、旋轉、鏡面反映、空間反轉和時間反演。不過，這些對稱性之間並非完全獨立。如空間反轉，相當於在繞垂直軸進行180 度旋轉操作之後，再進行一次關於水平面的鏡面反映 （即

I

=

R

⊕

M

，符號的定義將在下文給出）。這種不同對稱性操作的等價性對本文論述十分重要，故提前提示於此。事實上，文獻 ［1-9］ 對幾乎所有晶體材料的對稱性進行了詳細的理論分析並加以分類。如若有興趣，讀者可自行前往查閱。不過需要指出的是，這些對稱性分析通常極其複雜，並且只適用於一些特定的材料。有鑑於此，本文將避繁就簡，只將討論限定於若干具有代表性的系統 （通常是一維體系）。這些系統簡潔直觀，卻能夠適用於眾多不同的材料，並且與諸多可觀測量或可觀察的物理現象之間有很強關聯。

02

非互易性與SOS原理

2.1 非互易性

想必大家對

p

-

n

結中的二極體效應非常熟悉。它最基本的功能就是對電流的“正向透過，反向阻斷”。其實，二極體效應還有一個更“高大上”的名字——非互易性電荷輸運。電荷輸運容易理解，就是電子 （或空穴） 在電場下的流動。

非互易性在物理學中的解釋是：

對於一個物件，如果沿一個方向的運動行為與其沿反方向的運動行為有所不同，這一過程稱為非互易方向二色性，或簡稱為非互易效應

［7-9］

[譯者注

：為了簡化描述，後文將稱這兩種相反的運動行為是

相互對立

的，無論其互易與否。同時，由於這些運動行為通常由實驗所觀測，也可稱之為不同的

實驗情況

］。這裡，所謂的物件，不僅可以是上述二極體效應中的電子，也可以是聲子、自旋波、晶體中的光。

本文所要論述的是：這種非互易性，本質上由對稱性及其操作決定。而如果能夠從不同途徑實現類似的對稱性及其操作，則這些不同方案均可以產生相似的互易性效應。所以，本文的主題具有廣泛的普適性和可實施性。

從對稱性的角度來看，

p

-

n

結中之所以有這樣的二極體效應，主要是其中的內電場

E

破壞了方向對稱性 ［10］。研究發現，在一些鐵電體 （如 BiFeO

3

） 或極性半導體 （如 BiTeBr）中，極化

P

亦可以扮演著與內電場

E

相同的角色。因此，我們也能夠在這些材料中觀察到體二極體效應 ［11， 12］。極化

P

之所以能夠等效為內電場

E

，是因為二者均為極向量 （polar vector），而極向量在各種對稱操作下會表現出完全一致的行為。

同理，磁場

H

和磁化

M

均為贗向量 （pseudo-vector），故

M

亦可等效為

H

。［注：在物理學中，有極向量和贗向量之分。贗向量可以表示為兩個極向量的外積。由於經常用於描述旋轉，贗向量也稱軸向量。極向量與贗向量在特定對稱操作下有不同的行為：（1） 在鏡面反映下，極向量垂直反映面 （鏡面） 的分量反向、平行反映面的分量不變。相反，贗向量垂直反映面的分量不變、平行反映面的分量反向。（2） 在空間反轉下，極向量反向，贗向量不變。這些特性在本文中至關重要］。除了

p

-

n

結之外，諸如光隔離器、自旋電流二極體以及超材料 （meta-materials） 的許多原型器件都確實地利用了非互易效應。

另外，多鐵性材料，作為原著作者和譯者多年來的關注課題之一，也是實現非互易效應的優良候選體系。多鐵性材料，通常指的是系統中同時存在鐵電序和 （反） 鐵磁序的化合物。其中，多種鐵性之間相互依存、相互耦合。近年來，因其在磁電相互調控方面表現出的潛在可能性，多鐵性材料受到世界範圍的關注 ［13-15］。一方面，磁有序破壞了時間反演對稱性；另一方面，當磁晶格與結構晶格相結合時 （可以理解為自旋排列是空間不均勻的），將破壞系統的空間反轉對稱性。這一共同作用的結果最終導致多鐵性的出現，也被稱為磁致多鐵。多鐵性材料由於要求空間反轉和時間反演兩種對稱性同時破缺，將會是下文中的“明星選手”。

2.2. SOS原理

首先，我們透過討論速度向量的對稱性來進一步理解非互易性，並由此正式引入

對稱操作相似原理—— SOS

。

眾所周知，速度向量

k

（或線性動量，或波矢） 表示為 d

x

/d

t

（其中

x

為位移，

t

為時間）。這一向量在空間反轉 （

x

→ -

x

） 或時間反演 （

t

→ -

t

） 操作下將會改變其方向 （即符號），故具備這兩種對稱性的破缺。注意到，

k

可以描述任意 （準） 粒子的運動，如電子、自旋波、聲子和光子。在這裡，基於簡單起見，我們僅處理一維情形下的問題，以便將其中的物理闡述清楚明白。向高維的推廣和演繹直截了當，雖然較為繁瑣。茲作如下符號約定，用於表示相應的對稱操作：

R

，繞垂直於

k

向量的軸旋轉180 度；

R

，繞沿

k

向量的軸旋轉180 度；

I

，空間反轉；

M

，以垂直於

k

向量的平面作鏡面反映；

M

，以包含

k

向量的平面作鏡面反映；

T

，時間反演。

根據以上符號約定，顯而易見，+

k

在

R

對稱操作下將變為 -

k

，即

k

具備破缺的

R

對稱性。事實上，+

k

在

I、M

或

T

中任何一個對稱操作下均變為 -

k

，因此，{

R

，

I

，

M

，

T

} 便稱為

k

的所有對稱性破缺操作的集合。這一表達在本文中屢屢現身、至關重要。

那麼，如何理解其中的非互易性呢？首先引入一個概念，

構成量

（specimen constituent）。可以把構成量理解為材料或系統中的一種物理環境，如電子在電/磁場中運動時，這個電/磁場環境即是一種構成量。光在晶體中傳播時，能夠與光發生相互作用的晶格結構也是一種構成量。

簡單而言，如果用一個代表狀態的向量

A

來描述這個構成量，那麼系統就可以用 ［+

k, A

］ 來表示。如果用另一個狀態向量

B

來描述經過對稱操作後的構成量，那麼經過變化後的系統就是 ［-

k

，

B

］。因此，若要討論其中的互易性，只需要知道在透過對稱操作使 ［+

k

，

A

］ 變為 ［-

k

，

B

］ 的過程中，構成量是否發生了變化。

從上面的分析可知，若想把 +

k

變為 -

k

，必然要進行 {

R

，

I

，

M

，

T

} 對稱操作。此時，如果構成量不發生變化 （即

A = B

），那麼由於 +

k

和–

k

所處的物理環境 （構成量） 相同，運動行為將不會發生改變，實驗結果是互易的。這裡，將這一過程表述為對稱操作前後是可以關聯的，即 ［+

k

，

A

］ 在{

R

，

I

，

M

，

T

} 對稱操作 （只要有一個對稱操作即可） 之後變成了 ［-

k

，

A

］。

反之，若構成量發生變化（

A

≠

B

），即 {

R

，

I

，

M

，

T

} 中的任意一個對稱操作均無法關聯 ［+

k

，

A

］ 和 ［-

k

，

B

］，則由於 +

k

和–

k

所處的物理環境 （構成量） 不同，運動行為必將改變，也就是會展現出非互易性。換言之，如果構成量也是{

R

，

I

，

M

，

T

} 對稱性破缺的，那麼

B

和

A

必將不相等，即實驗結果一定是非互易的。

因缺乏更好的術語表述，我們姑且把這些具備 {

R

，

I

，

M

，

T

} 對稱性破缺的構成量，稱為具有針對

k

的 SOS （symmetry operational similarity）。

很顯然，SOS 並非只是針對互易性這一物理，如上所述只是侷限於非互易性有關的 SOS 原理而已。

圖2。 具有針對

k

的 SOS之多種構成量。其中，紅色箭頭表示極化

P

或者外電場

E

，藍色箭頭表示磁化

M

或外磁場

H

。（a） 鐵轉 （ferro-rotation） ［注：鐵轉表示的是面內的 （電） 偶極子旋轉方式，包括順、逆時針，可以用太極的“陰”、“陽”兩種狀態作類比。它的序參量可以表示為

R

=

r

×

P

，在空間反轉和時間反演下均不變。具體可參見文獻［15］］。（b） & （c） 具有磁性

M

的結構手性 （螺旋型）。（d） & （e） 磁場

H

下的螺旋 （helical）自旋序。（f） 磁場

H

下的面內螺旋 （cycloidal，或稱擺線） 自旋序。（g） 由自旋旋轉構成的環磁極矩 （toroidal moment）。（h） 由

P

和

M

（或

E

和

H

） 構成的環極矩 （toroidal moment） ［譯者注：雖然原文將 （g） 和 （h） 都稱為 toroidal moment，不過它們在本質上是不同的。所謂的環極矩 （或鐵性矩） 僅僅是在性質上類似於環磁極矩，這一點在文獻［19］ 中作了詳細說明］。

圖 2 列出的所有構成量，均具有針對

k

的 SOS （即它們與

k

具備對稱操作相似性，在圖 2 中用“≈”表示）。根據 SOS 原理，它們均能展現出非互易效應。另外，在圖 2 中，我們只考慮了

k

的一維特性，因而可以忽略沿一維方向的平移對稱性。同時，也可忽略圖 2（e） 所示構成量的

R

對稱性。

這裡，建議讀者將本文所有圖中構成量的對稱破缺性質“演練”一遍。事實上，唯一張紙、一支筆、一雙手和一個富有空間想象力的大腦足矣。譯者在一些不易想通的地方作了提示，希望有所幫助。在分析對稱性時，可以簡單地參考手性變換、極向量與贗向量的對稱變換特性。雖則簡樸，其效無量！

例如，在結構手性材料中，當沿手性軸施加磁場時，沿手性軸方向傳播的自旋波或光波將展現出非互易效應，即所謂的磁 - 手性效應，對應於圖 2（b）。實驗上，在立方手性結構 Cu

2

OSeO

3

中已經觀察到非互易的磁 - 手性自旋波效應 ［16］。另外，理論計算預測，在單軸手性Ba

3

NbFe

3

Si

2

O

14

也存在類似的磁 - 手性效應，並且得到實驗觀測證實 ［17， 18］。當手性軸與磁場垂直時，非互易效應依然存在，此即橫向磁 - 手性效應，對應於圖 2（c） ［

譯者注

：結構手性具備{

I

，

M

，

M

} 對稱性破缺，如右手手徵在 {

I, M

} 操作下將變為左手手徵。贗向量

M

（或

H

） 具備 {

R

，

T

，

M

} 對稱性破缺，故結構手性和磁性共同作用將具備{

R

，

I

，

M

，

T

} 對稱性破缺］。

另一個非互易自旋波的例子是磁場沿螺旋軸方向的螺旋自旋構型 （或錐形自旋構型），對應於圖2（d）。這一現象在鉺金屬中被觀察到 ［7］ ［

譯者注

：自旋螺旋構型和結構手性具備 SOS，即二者均破壞了{

I

，

M

，

M

} 對稱性。這裡，為了更方便理解螺旋自旋序的對稱性，在討論其對稱操作時，讀者只需要關注自旋序旋轉方向的對稱性，無需考慮每一個自旋］。

圖2 （h） 描述了一種環極矩的情形。在極性磁體 FeZnMo

3

O

8

中觀測到的非互易 THz 光學效應，即屬於這一情形。其中，

P

沿

c

軸，

H

（或

M

） 處於

ab

面，傳播光沿著垂直於

P

和

H

（或

M

） 的第三個方向 ［19， 20］。另外，圖 2（a） 描繪了一種具備

P

和

M

（或在電場

E

和磁場

H

中） 的鐵性 - 旋轉。文獻 ［15］ 詳細地討論了其中的結構手性和鐵轉特徵，在此不再贅述。

圖3。 準平衡過程中電子輸運的非互易效應。其中，左右兩種相互對立的實驗情況可以透過{

R

，

I

，

M

} 對稱操作關聯。

注意到，上面所討論的對稱性考慮，或多或少地也適用於一些準平衡過程，如電子輸運實驗。其中，

k

表示電子雲的漂移速度，與電流向量

J

直接相關。不過，我們需要施加一外電場才能得到相應的

k

或

J

。由於 {

R

，

I

，

M

} 對稱操作能夠將圖 3 所示的左右兩種實驗情況聯絡起來，因此，那些具有 {

R

，

I

，

M

} 破缺對稱性的電極化 （或電場） 構成量，以及圖 3 所示的具有 {

R

，

I

，

M

} + {

T

} 破缺對稱性的非互易情形，將都能展現出非互易電子輸運特性。

以上描述也可以作如下概括：

在準平衡過程中，如果相互關聯的兩種運動行為 (實驗狀態) 可以透過某一對稱操作集合而聯絡起來，則當某一構成量在該對稱操作集合下發生破缺時，這兩種實驗狀態下所觀測到的該構成量將是非互易的。

這是與非互易性有關的SOS 原理之另一種表述方式。事實上，通常

p

-

n

結和鐵電 BiFeO

3

中所展示的二極體效應，正是這裡所提到的非互易電子輸運特性 ［10， 11］。手性碳奈米管中的磁電阻也可以是非互易的，對應於上文圖 2（b） 中所提到的磁 - 手性效應 ［21］。在 BiTeBr 材料中，當在

ab

面內施加一磁場

H

、

並且極化

P

沿

c

軸方向時，沿第三方向 （垂直於

P

和

H

） 的電導率將是非互易的，即同樣會表現出如圖 2（h） 所示的非互易環極矩效應 ［12］。

03

多鐵與線性磁電材料

3.1. 針對極化與磁化的SOS

多鐵性，尤其是磁致多鐵性，也可以用針對極化

P

的 SOS 來理解 ［22］。在這裡，“

R, R

，

I

，

M

，

M

和

T

”將是關於

P

方向而定義的對稱操作，不再是前文中針對

k

的對稱操作。類似地，{

R

，

I

，

M

} 便稱為

P

的所有對稱性破缺操作的集合。我們把所有 （準） 一維下具備 {

R

，

I

，

M

} 破缺的構成量示於圖 4（a） - （d） 中。它們都具有針對

P

的 SOS。同樣地，沿一維方向的平移對稱性和如圖 4（a） 所示的

R

對稱性也可忽略。

需要強調一點：眾所周知，極化

P

在

T

操作下並不存在對稱性破缺，故針對極化

P

的 SOS 中並不要求

T

對稱性破缺。

圖4。 （準） 一維構成量，它們均具有針對

P

或

M

的SOS。紅色箭頭表示

P

，藍色箭頭表示自旋或

M

。（a） 面內螺旋 （cycloidal，或稱擺線） 自旋序。（b） 具有鐵轉結構的螺旋 （helical） 自旋序。（c） 兩種不同自旋交替排列的上 - 上 - 下 - 下 （↑↑↓↓） 型自旋序。（d） 常規反鐵磁有序，其中實心圓表示處於紙面之下的氧原子，空心圓表示處於紙面之上的氧原子。（e） & （f） 處於磁場

H

下的常規反鐵磁有序，其中氧原子交替出現在鏈間，用虛線空心圓表示。（g） 結構手性晶格中外電場驅動下的電流。（h） 隨時間旋轉的極化。

接下來，我們舉一些例項，以便更好理解：

（1） 在 TbMnO

3

和 LiCu

2

O

2

體系中，多鐵性來源於 （面內） 螺旋自旋序 （cycloidal spin order），對應於圖 4（a） ［23， 24］。

（2） 在 RbFe（MoO

4

）

2

和 CaMn

7

O

12

體系中，多鐵性來源於鐵轉 （ferro-rotational） 形式的螺旋自旋有序 （helical spin order），對應於圖 4（b） ［25， 26］。

（3） 在 Ca

3

CoMnO

6

、TbMn

2

O

5

和正交 HoMnO

3

中，多鐵性來源於兩個或兩個以上不同磁性位置 （離子） 的互動作用，對應於圖 4（c） ［27 - 29］。

（4） 在Ba

2

CoGe

2

O

7

中，多鐵性來源於所謂的

p

-

d

軌道雜化作用，對應於圖 4（d） ［30］。

接著，我們來看圖 4（e） 和 （f） 所示的構成量：當外磁場

H

= 0時，在 {

R

，

I

，

M

} 破缺集合中，構成量僅分別對 {

I

，

M

} 和 {

R

，

I

} 操作發生對稱性破缺。當

H

非零時，才會發生 {

R

，

I

，

M

}的對稱性破缺，即具有針對

P

的 SOS，如 Cr

2

O

3

等材料中的線性磁電耦合效應。圖 4（e） 所示的情形對應於低磁場下對角的線性磁電耦合，圖 4（f） 所示的情形則對應於磁場

H

高於自旋翻轉臨界場下非對角的線性磁電耦合 ［31］。如果在圖 4（e） 和 （f） 中將磁場

H

反向 （比如透過

R

或

M

操作），相應地

P

將發生翻轉。這與線性磁電耦合的基本物理性質相吻合。

最後，再來討論磁化

M

。{

R

，

M

，

T

} 是

M

的所有對稱性破缺操作的集合。當圖 4（e） & （f） 中施加的外場不再是磁場

H

而是電場

E

時，它們將發生 {

R

，

M

，

T

} 的對稱性破缺，即具有針對

M

的 SOS，出現磁性。這反映了線性磁電耦合材料 （如 Cr

2

O

3

） 中電場誘導磁化和磁場誘導極化之間的相互關係。事實上，我們也注意到，當把

H

替換為梯度應變向量（即應變是非均勻的） 時，它同樣具有針對

M

的 SOS ——也就是說，所有的線性磁電材料均能在梯度應變的作用下出現淨磁矩，即所謂的撓曲磁性（flexomagnetism）。另外，在後文的圖 5（b） - （f） 中，倘若把

H

替換為梯度應變向量，亦將展現出撓曲磁性。

接下來，可以考慮一件非常有趣的事：如果在材料中透過某些非平凡的手段，使得相應的對稱性發生破缺，那麼根據SOS 原理，是否就能獲得一些新奇的物理現象呢？

答案是肯定的。現以圖 4（g） 所示的構成量為例。當在具有螺旋型的結構手性晶體中注入電流時，相當於人為地引入了電流向量

J

。根據對稱操作原則，

J

具備破缺的 {

R

，

T

}，而結構手性具備破缺的 {

M

}，二者結合將使得該構成量發生 {

R

，

M

，

T

} 對稱性破缺，即出現針對

M

的 SOS。這正是在非磁性材料中引入磁性的重要方法，並且已經在結構手性的碲晶體中觀察到了線性誘匯出的

M

［32， 33］。另外，在圖 4（h） 中，當 Neel 型鐵電疇壁在垂直於壁的方向上移動時，同樣應當具有磁性 ［34］。不過這種情況尚未透過實驗證實，但參考文獻 ［35］ 中關於動態多鐵性的討論即是關於這一問題。

3.2. 預測未知的磁電效應

對預測磁致鐵電和線性磁電耦合新材料，上文提出的 SOS 原理，將會是非常有力的工具。例如，在圖 5（a） 中，同時存在兩種磁性離子 （AAB 型） 的離子有序和上 - 上 - 上 - 下 - 下 - 下（↑↑↑↓↓↓）型磁有序。它們具有針對

P

的SOS，因此應當表現出磁致鐵電性。再如，圖 5（b） 中，前兩種用於表示磁單極子 ［

譯者注

：此處的磁單極子並非是理論物理學中假設的基本粒子，而是存在於某些凝聚態物質系統中非孤立的磁單極準粒子，如自旋冰 （spin ice）］，第三個用於表示環磁極矩，第四個用於表示磁四極子。它們在零磁場下並不具有針對

P

的 SOS ［

譯者注

：前兩個不具備 {

R

} 破缺，後兩個不具備 {

M

} 破缺］，不過卻會在磁場

H

下出現針對

P

的 SOS，故能表現出線性磁電耦合效應。圖 5（c） - （f） 所示的 （翹曲） 蜂窩晶格自旋構型也非常類似，僅當施加了非零磁場

H

時，它們才會具有針對

P

的SOS，從而表現出線性磁電耦合效應。

需要指出的是，上述多數構成量尚未得以有具體實驗證實。不過，若未來能夠在實際材料中對這些源自對稱性的預測加以驗證，那必將是極具意義的 ［36］。

圖5。 具有針對

P

的 SOS 的構成量。紅色箭頭表示

P

，藍色箭頭表示自旋或

M

。（a）AAB 型離子有序結合上 - 上 - 上 - 下 - 下 - 下型自旋有序。（b） 與

H

垂直的磁單極子，與

H

共面的磁單級子，與

H

共面的環磁極矩，與

H

共面的磁四極子。（c）- （e） 磁場

H

下蜂窩晶格中不同的面內反鐵磁有序構型。（f）翹曲蜂窩晶格中的伊辛反鐵磁有序 ［譯者注：翹曲指的是該蜂窩晶格的六個格點不在同一平面內］，其中，磁場垂直紙面向外，實心圓表示處於紙面之下的自旋，空心圓表示處於紙面之上的自旋，“+，-”符號分別表示自旋垂直紙面向外或向內。需要指出的是，當 （f） 中磁場

H

的方向變為紙面內水平向右時，相應的構成量將具有針對“紙面內水平向右的

P

”的 SOS。（g） 處於均勻應力下的螺旋型手性結構，其中綠色雙箭頭表示均勻應力場。（h） 處於剪下應力 （紙面內） 下的螺旋型手性結構，綠色箭頭表示剪下應力。

我們舉一個相關的例子來佐證：六角晶系的R（Mn， Fe）O

3

（R為稀土離子）。

這一體系屬於反常 （improper） 鐵電體，它在

ab

面記憶體在自發的Mn/Fe三聚體（trimerization），鐵電極化沿

c

軸方向。已經在六角 R（Mn， Fe）O

3

體系中發現了多種面內 Mn 自旋的磁有序。其中，Mn 三聚體與所謂的 A1 型磁有序共同作用，能夠誘匯出淨環磁極矩。而所謂的 A2 型磁有序可以為系統引入磁單極子 ［37， 38］。線性磁電耦合效應以及與這些磁單極子、環磁極矩相關的非互易性，將會是未來研究的主題。

04

壓電效應

一般來講，壓電效應存在於非中心對稱的晶格結構中。然而，3 行 6 列的壓電張量處理起來非常複雜，並且即使在非中心對稱系統中，有些壓電係數也有可能是零。我們知道，在 32 種晶體點群中，有 11 種是中心對稱的，不具有壓電性；同時，屬於點群 432 的晶體雖無對稱中心，但其對稱性較高，也沒有壓電性，壓電晶體只可能屬於 20 個非中心對稱的點群 ［1， 2］。接下來，我們將利用 SOS 原理從對稱性的角度來理解壓電性的起源。

所謂壓電，指的是晶體在受到應力作用時能夠在某些表面上產生電荷，也就是誘匯出

P

。因此，在考慮壓電的構成量時，有兩個要素：一是應力場 （均勻應力或者剪下應力），二是能否具備針對

P

的 SOS。例如，在圖 5（g） 的螺旋手性結構中，沿任意主方向上的均勻應力都無法使這個構成量具備針對

P

的 SOS，因此壓電係數d

ij

（i， j = 1， 2， 3） = 0。也就是說，均勻應力無法帶來壓電性。

然而，當這一螺旋手性結構中存在如圖 5（h） 所示的剪下應力時，由於螺旋手性結構本身具備 {

I

，

M

} 對稱性破缺，而引入的應力場具備 {

R

} 對稱性破缺，這一構成量將具備針對

P

的 SOS，即 d

14

、d

25

和 d

36

非零，因此具有壓電性 ［

譯者注

：當手性材料施加了如圖所示紙面內的剪下應力後，除了垂直於紙面方向的二次旋轉軸外，其它方向的旋轉對稱性全部消失。根據二次軸的對稱性要求，材料中的電偶極矩只可能沿著該二次軸方向，故

P

只能垂直於紙面，即 d

14

非零，d

24

= d

34

= 0。同理，d

25

和 d

36

非零，d

15

= d

35

= d

16

= d

26

=0 ］。事實上，圖 5（g） & （h） 所描繪的情景，正對應著點群 2

1

22 和 222 中的壓電性。

（未完待續，請見SOS——操弄對稱的相似原理 （下））

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備註：

（1） 題頭小詩有故弄玄虛之嫌，以示對稱性在物理中的崇高地位。由此，所有與對稱性相關的動作均具有不俗的意義和價值。

（2） 封面圖片來自http：//kidminds。org/wp-content/uploads/2016/08/Symmetry-in-Nature-PHOTO。png。

（3） 本文翻譯得到作者授權並經Nature出版集團同意。