文小剛：什麼是量子位元？丨眾妙之門

位元，是一個有0，1兩個取值的東西。任何一個物體，如果它存在兩種不同的狀態，那麼我們就可以用這兩種不同的狀態來實現一個位元。位元是資訊的基本單位，是數字通訊數字計算機中的主角。我們現在所經歷的資訊革命，如手機、微信、WiFi、電視等等，就靠它了。

量子位元是量子資訊的基本單元，是量子通訊量子計算中的主角。它的量子性質造就了量子通訊和量子計算的神奇。有人甚至認為量子位元是組成世間萬物的基本構件。可量子位元到底是個什麼東西？它到底神奇在什麼地方？

撰文 | 文小剛（麻省理工學院終身教授、格林講席教授）

量子力學是一個很詭異的理論，即使是專家都不敢說懂。量子論的一個創始人玻爾（Niels Bohr）說過：“如果誰不為量子論而感到困惑，那他就是沒有理解量子論。”大物理學家費曼也說：“我想我可以有把握地講，沒有人懂量子力學！”

奧妙神奇的量子世界

量子力學為什麼這麼詭異？因為量子力學告訴我們“存在”這一理解世界的根本概念，並不是像我們想象的那麼簡單。我們知道物理的研究物件是世界上各種各樣的存在。到底什麼是“存在”？我們每個人都覺得自己知道這個簡單的概念。但我們頭腦中固有的這個“存在”的觀念，其實是一個經典觀念。這個經典存在觀念，是在我們對宏觀世界的觀測中總結抽象出來的。但是，在研究觀測微觀世界時，我們發現這個經典的存在觀念，和微觀世界的實驗觀察完全不吻合。我們必須重新反思，在我們這個世界中“存在”到底是一個什麼東西？是一個什麼概念？我們發現，我們必須引入一個新概念：量子存在，來描寫我們世界中的真實存在。這就是量子力學給我們帶來的根本性的革命——它徹底了改變了我們的世界觀。在歷史上所有的物理革命中，量子革命是最具有顛覆性的，最令人不可思議的，也是物理學家最不情願的。它是被實驗逼出來的。到現在還有很多物理學家、對量子力學的基本理論感到彆扭和不滿。

不存在的經典存在和存在的量子存在

如果經典存在不存在（也就是說我們熟悉的經典存在這個概念並不適用於我們的世界），那麼存在的量子存在到底是個什麼東西？總結各種微觀世界的實驗觀測，我們發現量子存在有下面這項基本性質：

以薛定諤的貓為例：如果活貓是一個允許的存在，死貓也是一個允許的存在，那麼活貓+死貓也是一個允許的存在。當你觀測處於這一狀態的貓時，有時發現它是活的，有時發現它是死的，也搞不清楚它到底是活的還是死的。更加抽象地講，如果狀態A是一個允許的存在，狀態B是一個允許的存在，那麼一定有一個亦A亦B非A非B的狀態，我們稱之為狀態A+狀態B，也是一個允許的存在。這就是有名的量子疊加原理。它是量子力學中一切“詭異”的根源。狀態A+狀態B這個奇怪的存在、被叫做狀態A和狀態B的疊加態。在量子力學中我們通常把狀態A、狀態B標記為|A〉、|B〉。這樣狀態A和狀態B的疊加態就被標記為|A〉+|B〉。

活貓+死貓也是一個允許的存在？！這怎麼可能呢？如果你真的相信這一胡說八道，那麼我問你活貓+死貓到底是一個怎樣的存在？它到底是活貓還是死貓？這的確是不可思議的。但我們的世界真的是這麼一個不可思議的神奇世界。這只不死不活、又死又活的薛定諤貓的確是一個可能的允許的存在（見圖1）。它還有一個數學符號

。

圖1：對不死不活又死又活的薛定諤貓的藝術描寫

上面講的這個不可思議的量子存在、才是我們世界中的真實存在。我們腦子裡固有的那個經典存在的概念，並不反映我們世界中的真實存在。對存在的這一新認知，是被實驗逼出來的。正像所有其它物理理論一樣，它們都是從實驗觀察中總結抽象出來的。下面我來解釋一下，到底是什麼樣的實驗逼出了這個量子存在的新認知？

連續的經典量和離散的量子量

我們這個實驗是一個用電子束作的實驗。我們知道一個電子像一個可以旋轉的小球。一個電子的狀態不僅由它的位置和速度來描寫，而且還由它的旋轉狀態來描寫。一個電子的旋轉狀態，可以用一個有方向的箭頭來描寫。箭頭的長短對應於旋轉的快慢，而箭頭的方向則對應於旋轉軸的方向。這個描寫電子自轉的箭頭，我們叫做電子的自旋。如果我們有一束電子，電子的自轉方向可以是隨機的，那自旋就對應於一堆指向不同方向的箭頭。

圖2：一個電子的自旋可以用一個箭頭來表示。第一個自旋有正的豎分量和正的橫分量。第二個自旋有負的豎分量和正的橫分量。一束電子內不同的電子會帶有不同的自旋，其可用不同的箭頭來描寫。

我們可以利用一個叫做自旋測量儀的儀器來測量自旋在橫、豎或者其他任何方向的分量。比如當一束電子透過一個豎向自旋測量儀時，電子束的運動方向會發生偏轉，而偏轉的角度正比於自旋在豎方向的分量。自旋豎分量是電子的一個性質。為了以後敘述方便我們把豎分量這一性質叫做電子的“顏色”。豎向自旋測量儀也可以叫做“顏色”測量儀。

當一束電子透過一個橫向自旋測量儀時，我們也可以利用電子束的偏轉，測量自旋的橫向分量。類似地，我們把橫分量這一性質叫做電子的“硬度”。橫向自旋測量儀也可以叫做“硬度”測量儀。

當我們用一臺“顏色”測量儀測量一束電子時，我們會得到什麼結果？根據電子自旋的經典影象，我們看到自旋的豎分量可正可負，可大可小。所以我們預計，當測量電子“顏色”（自旋豎分量）時，我們會得到一個連續的分佈，如圖3所示。

圖3：測量自旋豎分量（“顏色”）的經典預期是一個連續的分佈

可當物理學家真的測量這些電子的自旋時，我們發現電子束僅僅劈裂為兩束（見圖4）。這意味著電子只有兩種“顏色”，我們稱之為紅和藍（也就是自旋的豎分量僅僅有正負兩個固定值，對應於自旋向上和自旋向下）。

這一結果猶如晴天霹靂，讓物理學家目瞪口呆。我們一直認為電子自轉軸可以連續地指向任何方向，電子自旋的豎分量也可以在一個範圍內連續的取值（也就是應該有個連續的“顏色”譜，像彩虹一樣）。可實驗結果顛覆了這一簡單的、似乎不可能錯的預期。實驗告訴我們，自旋的豎分量只能取一些離散的值。這一經典影象中期待的連續量在實際中只能取離散的值的現象，被稱之為量子現象。它反映了我們世界的量子本質，也是量子力學名稱的來源。

圖4：測量“顏色”（自旋數豎分量）的實際結果：只看到兩個離散的值，紅和藍。測量“硬度”（自旋數橫分量）的實際結果也是隻看到兩個離散的值，軟和硬。

四個態還是兩個態

根據經典影象，電子的自轉可以有無窮多個狀態，對應於自旋的各種不同方向的指向。可實際上當電子束透過“顏色”測量儀時，僅僅分裂為兩束。這好像說明電子只有兩個狀態：紅和藍。其實“顏色”測量儀僅僅測量了電子的“顏色”（自旋豎分量），它只說明瞭電子“顏色”只有兩個可能的取值。但電子還有“硬度”這個性質（自旋橫分量），“硬度”的不同取值也能給出電子的不同態。

為了探索“硬度”這個性質，我們可以測量電子的“硬度”（見圖4）。這又和經典的預期完全不同：當我們測量這些電子的“硬度”（自旋橫分量）時，我們發現電子束也僅僅劈裂為兩束（見圖4）。這意味著電子只有兩種“硬度”，我們稱之為軟和硬（也就是自旋的橫分量也僅僅有正負兩個固定值，對應於自旋向左和自旋向右）。

這樣“顏色”可以取兩個值，“硬度”可以取兩個值。那麼電子就應該有（至少）四種狀態，根據“顏色”和“硬度”各自的兩種可能的取值 ，我們可以用下面的記號來標記這4個自旋態：|紅軟〉，|藍軟〉，|紅硬〉，|藍硬〉（見圖5）。

圖5：電子自旋四種狀態的一個影象表示。（這是一個錯誤的影象。）

如果我們先測量電子的“顏色”，然後再測量電子的“硬度”，我們就可以測出這兩種性質，把 |紅軟〉，|藍軟〉，|紅硬〉，|藍硬〉這四種電子完全分開（見圖6）。

圖6：測量電子的“顏色”之後，再接著測量電子的“硬度”，這樣把一束電子分成四束，好像說電子（至少）有四個不同狀態。

可是這個簡單的推論又是錯的。當我們測量完“顏色”和“硬度”之後，如果我們再次測量 |紅軟〉這束又紅又軟的電子的“顏色”時，自然而然，我們應當只得到紅色的電子（見圖7）。

圖7：先測量電子的“顏色”，接著測量電子的“硬度”，最後再測量電子的“顏色”。我們預期會得到這樣的結果。

然而，真做這個實驗的時候，我們竟出人意料地得到紅色和藍色的電子（見圖8）。這簡直是不可思議的結果：測量又紅又軟的電子的“顏色”時，我們居然有一半的機率會看到藍色。（當然另一半的機率會看到紅色）。類似地，如果我們再次測量 |藍軟〉這束又藍又軟的電子的“顏色”時，實際上我們也會看紅色和藍色（見圖8），和對 |紅軟〉的觀測結果一模一樣。真是實驗越多越糊塗。

圖8：先測量電子的“顏色”，接著測量電子的“硬度”，最後再測量電子的“顏色”。這是我們實際得到的結果。

為了把這個問題搞清楚，讓我們做更多的實驗。進一步的實驗表明，如果我們對 |紅軟〉和 |藍軟〉這兩束電子做相同的測量，我們總是得到完全相同的結果。|紅軟〉和 |藍軟〉這兩種狀態是完全不可區分的。我們應該認為它們是同一個態：|紅軟〉=|藍軟〉。

仔細觀察圖8，我們發現，測量紅色電子的“硬度”後，會得到軟電子和硬電子。可是當我們再測量軟電子的顏色時，我們發現這個軟電子忘了它原來是個紅電子，變成了一個顏色不確定的電子。所以圖8中把這個電子叫做 |紅軟〉是不合適的，因為它其實沒有確定的顏色。類似地，當我們測量藍色電子的“硬度”後，也會得到軟電子和硬電子。但這個軟電子也會忘了它原來是個藍電子，變成了一個顏色不確定的電子。這個從藍電子得到的軟電子和從紅電子得到的軟電子，一模一樣，不可區分。原來顏色的資訊完全丟掉了。所以圖8中的標記是不正確的。我們應當把它重新畫成下面的圖9。

圖9：先測量電子的“顏色”，接著測量電子的“硬度”，最後再測量電子的“顏色”。這是我們實際得到的結果和正確的標記。

更一般地講，不管進入“硬度”測量儀的電子是處於什麼樣的態，經“硬度”測量儀分離出來的軟態總是同一個態，分離出來的硬態也總是同一個態。類似的，不管進入“顏色”測量儀的電子是處於什麼樣的態，經“顏色”測量儀分離出來的紅態總是同一個態，分離出來的藍態也總是同一個態。

這種對電子自旋的測量和研究，揭示了我們量子世界中的測不準原理。“顏色”（自旋豎分量）和“硬度”（自旋橫分量）有一個互不相容的性質。如果一個電子有了確定的“硬度”，那麼它就沒有確定的“顏色”。如果它有確定的“顏色”，那它就沒有確定的“硬度”。對“硬度”的測量會影響電子的“顏色”，對“顏色”的測量會影響電子的“硬度”（見圖9）。

當然“顏色”和它自己是相容的。也就是說如果我們測量“顏色”以後再測量“顏色”，我們會得到同樣的顏色。多次測量顏色，不會改變一個電子的顏色（見圖10）。

圖10：多次測量顏色，不會改變電子的顏色。

透過圖6的實驗，我們把一束電子分成四束。我們想試圖說明電子有不同“顏色”不同“硬度”的四種狀態。可是根據上面所描寫的更多實驗，我們發現圖6這四束電子中，有兩束代表同一個狀態。另外兩束代表另一個相同狀態。所以最後我們只得到兩種不同的狀態。所以圖6對測量的描述不太準確。更準確地描述由圖11所示。

把四個態“裝”到兩個態裡：量子疊加態

圖11：測量電子的“顏色”之後，再接著測量電子的“硬度”。雖然這樣把一束電子分成四束，但其只代表兩種不同狀態。

圖11中我們用了四個標誌 |紅〉，|藍〉 ， |軟〉，|硬〉來標誌電子的自旋態。這是不是說明電子有四個態？這裡我們想說明，在經典影象中，物體狀態這個概念有一個相互排斥的性質。也就是說，一個體系如果有兩個可能的狀態A和B，那就意味著如果體系處於A態，那就一定不處於B態；如果體系處於B態，那它一定不處於A態。

透過圖10所示的實驗觀察，我們發現如果測量紅電子的顏色，我們只能得到紅色而得不到藍色；如果測量藍電子的顏色，我們只能得到藍色而得不到紅色。這說明 |紅〉、|藍〉這兩個態有相互排斥的性質。也就是說一個紅電子一定不是藍電子；一個藍電子也一定不是紅電子。類似的，|軟〉、|硬〉這兩個態也有相互排斥的性質。一個軟電子一定不是硬電子；一個硬電子也一定不是軟電子。我們這裡好像在說廢話。

可是 |紅〉態和 |軟〉態就沒有相互排斥的性質。如圖9所示，如果我們測量紅電子的硬度，我們有時候會感到軟，說明 |紅〉態和 |軟〉態不相互排斥；我們有時候也會感到硬，這說明 |紅〉態和 |硬〉態也不相互排斥。類似的，|藍〉態和 |軟〉，|硬〉態也都沒有相互排斥的性質。這種相互不排斥狀態的存在是量子世界中的新現象，是經典理論中沒有的概念。這也是量子理論詭異的起源。

從圖11中我們看到，|紅〉態中含有 |軟〉態也有 |硬〉態。所以當我們測量紅電子的硬度時，我們發現它是一個又軟又硬的電子。但顯然一個紅電子不是一個軟電子，也不是一個硬電子。所以我們說紅電子是一個又軟又硬不軟不硬的電子：它是一個微觀的薛定諤貓。數學上我們把 |紅〉態記為：|紅〉= |軟〉+ |硬〉。這就是量子理論中疊加態的概念：|紅〉態是 |軟〉態和 |硬〉態的疊加。圖9就是逼出這一概念的實驗。

圖12：當我們把從一束紅電子中得出的軟電子和硬電子重新結合起來之後，我們又會重新得到紅電子。類似地，如果我們把從一束藍電子中得出的軟電子和硬電子重新結合起來，我們會重新得到藍電子。

量子疊加不僅僅是一個抽象的數學概念，它也是一個可以在實驗室中實現的實際操作（見圖12）。我們上面說過，一束紅電子透過“硬度”測量儀可以分裂為一束軟電子和一束硬電子。如果用反射鏡把這束軟電子和這束硬電子重新結合起來，我們居然重新得到一束紅電子！這不是科學幻想。這是在實驗室中實際觀測到的結果，這就是我們奧妙神奇的量子世界，這就是我們為什麼把紅態表示為：|紅〉= |軟〉+ |硬〉。

從圖11我們又看到 |藍〉態也是一個又軟又硬不軟不硬的態。我們也想把 |藍〉態記為：|藍〉= |軟〉+ |硬〉。但這樣 |紅〉和 |藍〉就完全一樣了。這是不可接受的，因為 |紅〉和 |藍〉明明是完全不同、而且相互排斥的態。為區別 |紅〉和 |藍〉，我們把 |藍〉態記為：|藍〉= |軟〉- |硬〉。這樣 |藍〉態是 |軟〉態和 |硬〉態的一個不同的疊加，其中疊加係數有個負號。

上面我們利用 |紅〉和 |藍〉來描寫自旋 |上〉和 |下〉兩個態。我們利用 |軟〉和 |硬〉來描寫自旋 |左〉和 |右〉兩個態。下面我們將回到自旋的語言。這樣關係 |紅〉= |軟〉+|硬〉和 |藍〉= |軟〉- |硬〉就變成 |上〉= |左〉+ |右〉和 |下〉= |左〉- |右〉。這說明 |上〉態是一個又左又右、不左不右的態。|下〉態也是一個又左又右、不左不右的態。透過這兩個關係，我們可以得到 |左〉= 2（|上〉+ |下〉）~ |上〉+ |下〉和 |右〉= 2（|上〉- |下〉）~ |上〉- |下〉（在這裡，係數2被忽略了，見下節）。所以 |左〉態是一個又上又下、不上不下的態。也是一個薛定諤貓態。我們這種對自旋態的量子看法滿足空間90度旋轉對稱性。

什麼是量子位元？

在經典物理中，最簡單的系統就是一個位元。一個位元只有兩個態：0和1。比如我們可以把0和1這兩個態看作是上面所講的自旋|上〉，|下〉兩個態。而量子疊加原理告訴我們：任何兩個態的疊加也是一個可能的態。所以一個量子位元，不僅有|0〉和|1〉兩個態，還有它們的任意疊加態：

|ψ〉= ψ0 |0〉+ ψ1 |1〉

這裡ψ0 和 ψ1 是兩個複數，被稱為疊加係數。我們發現一個量子位元可以有無窮多個不同的狀態，這些狀態由兩個複數 ψ0 和 ψ1 來刻畫。當然這無窮多個態大多都不是相互排斥的。我們最多有兩個相互排斥的態，如 |0〉和 |1〉，|0〉+ |1〉和 |0〉- |1〉，等等。

為什麼疊加係數必須是複數？這也是一個非常深刻的問題。我們知道自旋的指向是三維的。不僅有上下左右四個方向。還有前後兩個方向。自旋 |前〉態是一個不上不下又上又下態，也是一個不左不右又左又右的態。我們想把 |前〉態寫為 |前〉= |上〉+ |下〉。但這是不對的。因為 |上〉+ |下〉已被用來表示 |左〉態。我們發現只有引入複數 i，才能把 |前〉態表示為 |上〉|下〉的疊加態：|前〉= |上〉+ i|下〉。類似的自旋向後的 |後〉態是 |上〉|下〉的另外一個疊加態：|後〉= |上〉- i|下〉。這樣 |前〉態是一個不上不下又上又下態，也是一個不左不右又左又右的態。|後〉態是另一個不上不下又上又下態，也是另一個不左不右又左又右的態。所以我們的量子世界要求我們用複數來刻畫物質的各種各樣量子態。

其實事情還沒有這麼簡單。這兩個複數對量子位元狀態的刻畫不是一一對應的，而是多對一的。兩對複數 （ψ0 ， ψ1） 和 （ψ‘0 ， ψ‘1） 其實描寫的是同一個量子態，如果它們之間有如下關係的話：

ψ0 = cψ‘0 ，ψ1 = cψ‘1

其中，c 是一個任意的複數。所以一個量子位元不同的態對應於一個球面上的點。這就是量子位元狀態的布洛赫球表徵（圖13）。經典位元1和0兩種狀態對應於南北兩極，而量子位元可以處在這兩種態的任意疊加態上，由球面上的其它點表示。這些點表達了這麼一個又不是0又不是1，但又是0又是1的虛無縹緲的狀態。在量子世界中好像連邏輯這一基本推理工具都要被修正了。

圖13：布洛赫球：一個量子位元不同的量子態，一一對應於一個球面上的點。我們可以用一個電子的兩個自旋態，來實現一個量子位元：自旋向上對應於0態，自旋向下對應於1態。那麼自旋向上和自旋向下的疊加態，也就是球面上的其他點，對應於自旋指向那個方向的量子態。比如 |↑〉- |↓〉是一個指向水平x方向的自旋態 |→〉，而 |↑〉- |↓〉是一個指向水平反x方向的自旋態 |←〉。自旋向上的態 |↑〉也可以看成是 |→〉和 |←〉兩個態的疊加： |↑〉= |→〉+ |←〉。

如果我們把1和0兩種狀態看著是自旋上下兩種狀態，那麼布洛赫球表徵就描寫了自旋指向各個不同方向的量子態。我們對自旋的量子描寫是滿足空間任意角度旋轉對稱性的。

上面我們講了一個電子的自旋有兩種（相互排斥的）狀態，其正好實現了一個量子位元。其實光子也有自旋，一個光子的自旋也有兩種（相互排斥的）狀態，我們也可以用它來實現了一個量子位元。實際上量子通訊就是用光子的自旋——這個量子位元——來實現的。

我們知道光有偏振現象。光的偏振可以有不同的方向，代表了光子自旋的不同的狀態（見圖14）。這無窮多個偏振方向，表示光子自旋可以有無窮多個不同的狀態。但像電子自旋一樣，這無窮多個態大多都不是相互排斥的。我們最多有兩個相互排斥的態，如豎偏振和橫偏振。我們可以用豎偏振代表0，用橫偏振代表1。這樣一個光子的自旋（偏振態）就是一個量子位元。一個光子還可以有左斜偏振，其對應於一個又橫又豎不橫不豎的偏振態，記為 |0〉+ |1〉。一個光子也可以有右斜偏振，其對應於另一個又橫又豎不橫不豎的偏振態，記為 |0〉- |1〉。有一種量子加密通訊就是利用這四種狀態的光子來實現的。

圖14：一個光子可以有很多偏振態，如豎偏振，橫偏振，左斜偏振，右斜偏振，等等。

薛定諤貓

量子位元這不是0不是1，又是0又是1奇怪的狀態便是有名的“活貓死貓悖論”的來源。想象在一個密封的盒子中，有一隻貓、一瓶毒藥、一個榔頭，和一個量子位元探測器（圖4）。我們給探測器一個量子位元，讓其測量。如果量子位元是處於1態的話，榔頭就會落下，放出毒藥，我們就會得到一隻死貓。如果量子位元是處於0態的話，榔頭就不會落下，貓還是活的。如果量子位元是處於0和1的一個疊加態，那麼過了一段時間，這隻貓到底是死的還是活的？按照量子理論，這隻貓應該是處於一個不死不活，又死又活的狀態。而這種狀態的貓被稱之為薛定諤貓（圖15）。

圖15 ：如何把一隻可愛的貓，變成一隻薛定諤貓

當我們瞭解薛定諤貓之後，我們就可以瞭解量子通訊。如果我們只用0態和1態，這兩種相互排斥的狀態來傳遞資訊的話，那麼我們做的就是經典通訊。如果我們用0態和1態，再加上亦0亦1、非0非1的兩個態 |0〉+ |1〉和 |0〉- |1〉，這4個相互不排斥的量子態來傳遞資訊的話，那我們做的就是一種形式的量子通訊。以後我們會有文章進一步詳細介紹這種形式的量子通訊。

在這篇文章裡我用盡量貼近實驗的角度，來描寫量子存在和量子疊加原理。我想讓讀者感覺到這一量子新概念是如何被實驗逼出來的。這一實驗角度正巧和一個非常抽象的數學描寫——範疇學理論——非常接近。其實範疇學並不是一門抽象的數學語言，而是一門非常貼近實驗的語言，是很值得做物理的學生來掌握的語言。另外我個人對現有的量子理論很不滿意，覺得它不是描寫我們世界最終正確的理論。要發展出超越量子力學的理論，也許範疇學會起一個關鍵作用。

原標題：《文小剛：什麼是量子位元？丨眾妙之門》