定積分和麵積有什麼關係？定積分來源於面積，歸宿也是面積

定積分的值可以是負數嗎

這是一個很有意思的問題。但從應用方面來說為了求一個圖形的面積，我們可能會使用定積分來求；有時候求一個長方形的面積，直接套用一個公式，又完全看不到定積分的影子。

試想一下古人們搶領地的時候，並不會用定積分算一下我家的領地大還是你家的領地大，而是直觀上比較看誰家的領地大；而後才有了長方形、三角形等常規圖形面積的計算，其實這個時候面積的概念就出現了。

隨著人們要求越來越精確，一些不規則圖形的面積計算不了，就慢慢有了定積分來解決這一難以直觀計算的問題。

再舉一個

例子

來說明定積分和麵積應用的問題：

假設小明的媽媽讓小明數100塊糖，一種方法是一塊一塊地數，另一種方法是先稱一塊糖的重量，另外計算出100塊糖的重量，直接稱出來，免去一塊一塊數的麻煩。

其實這個例子中第一種方法就是定積分的定義方法；第二種就是面積的方法。

如此一來，我們便可以引出定積分的

定義

：

定積分定義的通俗解釋：利用無限多個矩形面積來代替

定積分的定義說了好多，大概意思是說：

定積分其實是一個函式與座標軸、有限區間範圍［a，b］所圍的面積（

有正負號區別，下述

），正如下圖左側陰影部分的面積，它的近似計算，也即定義式是將所圍面積劃分成等寬，以每個矩形左側或者右側的橫座標所對應的函式值為高的無數個矩形求和得到，這樣一來可以透過計算矩形面積的累加求和即可計算定積分的值。

之所以近似是因為矩形來代替定積分計算存在一定的誤差，正如下圖計算定積分的方式所示，誤差正由於紅色陰影部分的面積產生的，因此要想足夠精確，只能將下圖的矩形寬度無限縮小，用更多的矩形來等效。

定積分的精確計算：牛頓-萊布尼茨公式

上面給出了由定積分的定義來計算定積分，也說明了對於“不規則圖形”用定義來計算定積分的值是非常麻煩的，畢竟如此之多的矩形求和是不現實的。

這個時候，牛頓-萊布尼茨公式很好地解答了這個問題，可以直接計算一個函式（原函式）的兩次函式值，再作差就可以得出定積分的值。下面給出了牛頓-萊布尼茨公式：

這個公式的關鍵之處在於準確求得函式f（x）的原函式F（x），反過來也可以說F（x）的導函式是f（x）。

如此一來，我們可以接著思考一下：

我們在計算定積分的時候，使用牛頓-萊布尼茨公式可以得出，而計算長方形的面積，直接套用面積公式也可以得出，是不是也可以理解為：

牛頓-萊布尼茨公式其實也是一種給出圖形面積的方法，有所不同的是，積分上下限的置換，定積分的值可能還需要加一個正負號。

定積分與面積的關係

以上的情形是在二維座標系-平面下，因此定積分可以用來求一個二維圖形的面積；同樣的，在三維座標系下，三重積分則可以用來求一個物體的體積。

但是這裡面有一個優先順序的問題，如果一個定積分或者三重積分可以直接用面積公式或者體積公式計算得到，則可以直接計算得出，而不必再一步步求解這個定積分或者三重積分。

除了計算面積之外，定積分還可以用在物理中計算

路程-速度

、

速度-加速度

問題。換句話說，

兩個物理量之間如果滿足導數關係，即可以用定積分來計算原函式

。

因此

路程-速度

問題可以解釋為路程是速度與時間軸所圍成的面積；而

速度-加速度

問題則可以解釋為速度是加速度與時間軸所圍成的面積。