電磁力的對稱性是什麼，和麥克斯韋方程組又有什麼關係？

這是 詳解楊-米爾斯理論 的第四篇，因為裡面沒有用到燒腦的數學公式，都是用通俗的語言展開，所以比較長，只能分成幾篇來寫，有興趣的朋友們可以進入主頁—文章欄裡檢視。

上篇有詳細聊過 對稱性 對於 楊-米爾斯理論 的影響，而自然界中的四種力裡面有三種力，它們都是被 楊-米爾斯理論 所統一的，那強力、弱力、電磁力又是如何被 楊-米爾斯理論 統一的呢？

這說來話長，但沒關係，裡面沒有任何公式，通俗的語言能讓你彷彿在看故事會一般。

我們知道，楊-米爾斯 理論是一套非常基礎的理論，它提供了一個非常精妙的模型，但是理論本身並不會告訴你，強力和電弱力具體該怎樣怎樣。（在 楊-米爾斯 理論中，電磁力和弱力被統一成電弱力）

那 楊-米爾斯 理論 究竟是如何將這三種力納入麾下的呢？

自從愛因斯坦顛倒了物理學的研究方式，以他為分水嶺，物理學家探索世界的方式發生了根本的改變。

也正是這種改變，讓20世紀的物理學家們能夠遊刃有餘的處理比之前更復雜的物理世界，他們能夠大膽的預言各種以前想都不敢想的東西。

這種思想極其深刻的影響了楊振寧，他把這種思想發揚光大，最後產生了精妙絕倫的楊-米爾斯理論。

這種思想在前面的章節有詳細展開，這裡不再贅述。

根據這種思想，愛因斯坦把對稱性放在更加基礎的位置，然後從對稱性匯出新的理論。

他從洛倫茲不變性匯出了狹義相對論，從廣義座標不變性匯出了廣義相對論。

其實，楊-米爾斯理論也是用 對稱性 統一的強力、弱力、電磁力。

不過，楊-米爾斯理論是一個大的框架，而具體、完整描述強力的理論，是在蓋爾曼結合強力的各種具體情況，套上楊-米爾斯理論 的框架後，才得到的量子色動力學（QCD）。

而弱力和電磁力的統一也是一樣的，格拉肖、溫伯格和薩拉姆等人，也是在套上了 楊-米爾斯理論 的框架之後，才將弱力和電磁力統一為電弱力。

清楚了這三種力的統一框架後，我們回到今天的主題：電磁力的對稱性是什麼？

從數學的角度來說，直接用座標和函式進行變換要簡單得多。

但是，今天我們拋開枯燥的數字講點有趣的，你也一樣能明白。

根據愛因斯坦首創的神操作，只要找到了對稱性，就可以透過對稱性去反推出整套理論，後面的楊振寧先生也是這麼幹的。

我們先來看看愛因斯坦是如何來尋找電磁力裡的對稱性。

當麥克斯韋方程組從前人的實驗定律中總結出來時，並沒

有指定

什麼具體的 對稱性，所以還得自己動手

才能豐衣足食。

愛因斯坦靈機一閃，如果能夠找出電磁理論中特有的守恆定律，

然後再

去推導電磁理論的對稱性，這不

是容易很多了嗎。

所以，他翻開了諾特定理。

諾特定理告訴我們，對稱性跟守恆定律是一一對應的，於是他翻出了電磁理論特有的守恆定律—電荷守恆。（大道至簡，諾特定理看上去很簡單，但非常重要，是物理學中的燈塔，也正因為如此，宇稱不守恆 發現的第二年就獲得了諾獎，可謂神速）

洋蔥

剝到

了這一步，只要找出跟電荷守恆相對應的對稱性是什麼就行了。

這裡就不得不提到另外一個人了，那就是數學家外爾。

在外爾的嚴刑逼供下，電荷守恆開口了：跟電荷守恆相對應的對稱性是波函式的相位不變性。

這個相位不變性也叫規範不變性或者規範對稱性，只要你高興，咋叫都行。

麥克斯韋的電磁理論怎麼會有規範不變性呢？

其實，它就是在量子力學裡，波函式的模的平方，它代表在這裡發現這個粒子的機率，一個波函式的相位不論怎麼變，模的平方是不會變

得

。

你細想一下，當你在公式裡給它做一個相位變換，它在另一個地方是不是就產生了一個相反的相位，總體上剛好就給抵消了。

當然，這都不重要，你只要記住，是規範不變性導致了電荷守恆 就夠了。

不過，事情還沒完，外爾又有了重大發現：

上面所說的規範不變性對稱電荷守恆，但那規範不變性指的是整體規範不變性，有整體就有局域，如果要求這個規範不變性是局域的，那麼就不得不包括電磁場。

於是，泡利接下了這根接力棒。

接著，在1941年，他發表的論文裡就嚴格證明了：U（1）群整體規範對稱性對應電荷守恆，它的局域規範對稱性產生電磁理論，還可以反推，直接從區域性推匯出麥克斯韋方程組。

這令人痛苦的群論啊。

一般不同的理論對應不同的群，這裡電磁理論就對應U（1）群，這個U代表的是群的名字，一般叫酉群或者是么正群，後面那數字1表示這是1階酉群，

也就是說，我們現在終於找到了決定電磁理論的對稱性，它就是U（1）群的局域規範對稱性。

但是，另一個關鍵問題又出現了：對稱性的整體和局域的區別。

什麼是整體對稱？

顧名思義，如果一個物體所有的部分都按照一個步調變換，那麼這種變換就是整體的。

是不是不太明白，舉個簡單的例子：

我們看舞臺上10個小姐姐跳舞，那優美的舞姿整齊劃一，當她們的動作在經過一種整體的變換之後，還能保持某種不變性，這樣的變換就是整體的，也就具有整體對稱性。

那什麼是局域對稱呢？

局域對稱就是一個物體不同的部分，按照不同的步調有規則的變換。

還是以那10個小姐姐為例，不過她們現在的表演換成了千手觀音，這就不再整齊劃一。

但是，在各種不斷變化的圖案裡，每個人的動作變換雖然不一樣，但還是保持著某種區域的一致性，只有這樣，你看著才會有層次感，而不是群魔亂舞。

也就是說，在這千手觀音的表演裡，雖然不是所有人按照一個規則變換，但是區域性的每個人，也都有他局域特有的變換規則。

所以，經過這樣一種局域的變換之後，它還能保持某種不變性，我們就說它具有局域對稱性。

從上面是不是可以看出，整體變換要簡單一些，而區域性變換要複雜一些，跳過舞的應該深有體會。

由此可知，如果要求一套理論具有某種局域對稱，這比要求它具有整體對稱複雜得多，局域變換對物理定律形式的要求也就更加嚴格一些。

但是，只要能夠讓它滿足局域對稱，得到的回報和掌聲自然也就大得多。

返回電磁理論的例子：

在整體規範對稱性下，我們只能夠得到電荷守恆，但是一旦要求它具有局域規範對稱性，整個電磁理論，甚至麥克斯韋方程組也就能直接得到了。

電荷守恆和麥克斯韋方程組，就是整體對稱和局域對稱給的不同回報。

順著思路往下走，在電磁理論裡，整體規範對稱性對應著電荷守恆，但是一旦要求這個整體規範對稱性在局域下也成立，立馬就能得到整個電磁理論。

這成果太誘人了，誰都想成為

麥克斯

韋那樣的人物呀，如果把這個思路推廣到其它領域會怎麼樣呢？

比如強力、弱力，有沒有可能只要某種整體對稱性在局域成立，然後可以直接產生強力、弱力的相關理論呢？

這個想法也太誘人了，楊振寧讀研究生的時候就開始琢磨這個事，但是一直到十幾年後的1954年，也就是他32歲的時候才有結果，這個結果就是大名鼎鼎的非阿貝爾規範場論，也叫楊-米爾斯理論。

這一章節主要講了電磁力的對稱性，下一篇，將會講述強力的對稱性，瞭解了強力的對稱性，也就瞭解了楊-米爾斯理論的靈魂。