高數題要怎麼解才簡便!怎麼解才嚴謹!
2022-10-13由 老黃知識共享 發表于 農業
極限x到負無窮怎麼算了
這是一道關於導數極限的高數證明題。證明函式在趨於無窮大時,若函式的極限和導數的極限都存在,那麼導數的極限就一定等於0。 事實上,其內涵是,
趨於正無窮大單調遞增的上凸函式,若極限存在,則導數的極限等於0;趨於正無窮大的單調遞減下凸函式,若極限存在,則導數極限等於0。 趨於負無窮大時,單調性相反。
下面老黃要用三種證明方法來證明這個定理,每一種方法都是越來越複雜的,但後面複雜的證明方法涉及到的知識更貼近高數極限的本質。
微分中值定理練習題分析
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證明:設f在(a,+∞)可導,若lim( x→+∞)f’(x), lim( x→+∞)f(x)都存在, 則(lim)( x→+∞)f’(x)=0.
證1:記lim( x→+∞)f’(x)=B, lim( x→+∞)f(x)=A. 則
B=lim( x→+∞) lim( h→0) (f(x+h)-f(x))/h
【運用了導函式的定義極限公式】
=lim(h→0) lim( x→+∞) (f(x+h)-f(x))/h=0, 得證!
【交換了極限的次序。因為兩個極限都存在,所以可以交換極限的次序】
證2:任取[x,x+1](a,+∞), 由拉格朗日中值定理知,
存在一點ξ∈(x,x+1), 使得f’(ξ)=f(x+1)-f(x),
當x→+∞時, ξ→+∞, x+1→+∞,
lim(ξ →+∞)f’(ξ)=lim(x→+∞)f(x)-lim(x+1→+∞)f(x+1)=0.
【改變自變數的符號,並不改變極限的本質】
證3:由柯西收斂法則知:對ε>0,總存在正數M>a,
使對x1,x2>M時,有|f(x1)-f(x2)|<ε/2, |f’(x1)-f’(x2)|<ε/2,
【因為f(x)和f‘(x)都收斂】
當x>M時,由拉格朗日中值定理知:
存在ξ∈(x,x+1)使f(x+1)-f(x)=f’(ξ),
又|f’(ξ)|=|f(x+1)-f(x)|<ε/2, |f’(ξ)-f’(x)|<ε/2, 從而
|f’(x)|≤|f’(ξ)-f’(x)|+|f’(ξ)|<ε,
∴lim( x→+∞)f’(x)=0.
【運用了極限最原始的定義】
同理可證x→-∞時,命題也成立。 也可以對任意符合定理的函式補充負區間的定義,使之成為一個偶函式,由偶函式的性質,就可以知道x→-∞時,命題也成立。
這三種證法,有兩種是老黃自創的,只有一種是教材上介紹的。你能猜到哪兩種證法是老黃獨創的嗎?