線性代數之特徵值和特徵向量的方法總結

特徵值有什麼用

特徵值與特徵向量是線性代數的重要內容，也是重要的考點之一。這一部分既是要對前面矩陣、線性方程組的綜合應用，也是後面二次型的基礎。特徵值與特徵向量這一章節所涉及的題目多，分值大，平均每年考查10分左右。矩陣的特徵值與特徵向量的概念理解以及計算問題，這一部分要求會求給定矩陣的特徵值與特徵向量，常考的題型有數值型矩陣的特徵值與特徵向量的計算和抽象型矩陣的特徵值與特徵向量的計算。若給定的矩陣是數值型的矩陣，則一般的方法是透過求矩陣特徵方程的根得到該矩陣的特徵值，然後再透過求解齊次線性方程組的非零解得到對應特徵值的特徵向量。若給定的矩陣是抽象型的，則在求特徵值與特徵向量的時候常用的方法是透過定義，但此時需要考慮的是特徵值與特徵向量的性質以及應用。

特徵值和特徵向量的概念：

特徵值和特徵向量的定義

特徵方程：

特徵方程

特徵值的性質：

特徵值的性質

求特徵值和特徵向量的方法：

求特徵和特徵向量的方法

題型一：數值矩陣的特徵值、特徵向量的求法

例1：求下列矩陣的特徵值和特徵向量

解：根據上面的方法一

題型二：抽象矩陣特徵值，特徵向量的求法

例2：

解：利用方法二

利用特徵值的定義求特徵值和特徵向量

總結：熟記以下結論，在其他問題中可直接使用。

常用的結論