8數提分策略，揭秘四邊形中摺疊熱點問題的求解策略，新題新亮點

A。方法綜述

摺疊問題（對稱問題）在三大圖形變換中是比較重要的，是近幾年來中考出現頻率較高的一類題型，摺疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中“折”是過程，“疊”是結果．摺疊問題的實質是圖形的軸對稱變換，摺疊更突出了軸對稱問題的應用。在初中數學中經常涉及到摺疊的典型問題，只要從中抽象出基本圖形的基本規律，就能找到解決這類問題的常規方法。

1、摺疊問題（翻折變換）實質上就是軸對稱變換，摺疊重合部分一定全等．

2、摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱．對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．

3、對於摺疊較為複雜的問題可以實際操作圖形的摺疊，在畫圖時，畫出摺疊前後的圖形，這樣便於找到圖形之間的數量關係和位置關係．

4、在矩形（紙片）摺疊問題中，重合部分一般會是一個以摺痕為底邊的等腰三角形

5、摺疊問題中構造方程的方法：

（1）利用摺疊所得到的直角和相等的邊或角，設要求的線段長為x，然後根據軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求解．

（2）尋找相似三角形，根據相似比得方程。

B。熱點透視

型別1 透過構造方程求相關數量值

1．（2019春睢寧縣期中）如圖，在矩形ABCD紙片中，AB＝6，AD＝8，將矩形紙片ABCD摺疊，使點B與點D重合，則摺痕EF的長為（）

A．19/2 B．15/2 C．8 D．7

【解析】連線BE，過E作EG⊥BC於G，設AE＝x，則DE＝BE＝8﹣x，

3．（2019濱江區一模）如圖，將矩形紙片ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙，無重疊的四邊形EFGH，設AB＝a，BC＝b，若AH＝1，則（）

型別2 動態摺疊問題（難點）

這類問題往往涉及摺疊動態變換過程中相關的作圖，方可正確分類求解問題，應注意到：①動摺痕過定點，則對應點在圓上；②摺痕為對應點連線的垂直平分線．常需要依據不變特徵，分析轉化，補全圖形．綜合問題中還會涉及摺疊思想相關的構造，比如將動點摺疊轉化為動點運動軌跡的摺疊

4．（2019駐馬店一模）如圖，矩形4BCD中AB＝10，AD＝12，點E是線段BC上一動點，連線AE，將△ABE沿直線AE摺疊，點B落到F處，連線CF，BF，當△BFC為等腰三角形時，BE的長為_______．

5．（2019春江陰市期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝5cm，動點P從點A出發，以每秒1cm的速度沿線段AB向點B運動，連線DP，把∠A沿DP摺疊，使點A落在點A′處．求出當△BPA′為直角三角形時，點P運動的時間．

【解析】本題考查了摺疊問題：摺疊前後兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等．也考查了矩形的性質以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．

分三種情況進行討論，當A′、P、B分別為直角頂點時，求出AP的長即可．

（1）當∠B A′P＝90°時，由摺疊得，∠P A′D＝∠A＝90°，

∴∠B A′D＝∠B A′P+∠P A′D＝180°，∴點B、A′、D在一直線上，

設AP＝xcm，∴A′P＝x，B P＝12﹣x，A′B＝13﹣5＝8，

∴Rt△A′PB中，有x^2+8^2＝（12﹣x）^2，解之得：x＝10/3；

∴點P的運動時間為10/3÷1＝10/3s

（2）當∠A′P B＝90°時，∴∠A′P A＝90°，

又∵∠DA′P＝∠A＝90°，∴四邊形APA′D是矩形，

由摺疊的性質得，A′P＝AP，∴四邊形APA′D是正方形，

∴AP＝AD＝5，∴點P的運動時間為5÷1＝5s；

（3）當∠A′B P＝90°時，不存在；

綜上所述，符合要求的點P的運動時間為10/3s 或5s．

摺疊問題是初中三大圖形變換之一，釐清翻折前後圖形的線段和角的數量關係是我們解題關鍵。找到變化前後哪些量未變，哪些量變了。藉助於數學思想，觀察圖形的變化規律，應用數學模型來解決問題。

C．最新考題精煉

5．（2019桐梓縣模擬）如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A，點D重合）將正方形紙片摺疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC於H，摺痕為EF，連線BP，BH．

（1）求證：BP平分∠APH；

（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？並證明你的結論．

6．（2019河西區模擬）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點M、N分別在邊AB、CD上，直線MN交矩形對角線AC於點E，將△AME沿直線MN翻折，點A落在點P處，且點P在射線CB上

（Ⅰ）如圖①，當EP⊥BC時，①求證CE＝CN；②求CN的長；

（Ⅱ）請寫出線段CP的長的取值範圍，及當CP的長最大時MN的長．

練習參考答案

1。C 2。B 3。C 4。 9/2或9．

5。【解析】（1）由摺疊的性質可得∠EPH＝∠EBC，EB＝EP，可得∠EBP＝∠EPB，即可證∠APB＝∠BPH＝∠PBC，可得結論；

（2）作BQ⊥PH，透過證明△APB≌△QPB和△BHQ≌△BHC，可得AP＝PQ，AB＝BQ，QH＝HC，即可求△PDH的周長等於8是定值．

6。【解析】（Ⅰ）①由翻折變換的性質得出△AME≌△PME，得出∠AEM＝∠PEM，AE＝PE，由矩形的性質得出∠B＝90°，AB∥CD，AB⊥BC，證出AB∥EP，由平行線的性質得出∠AME＝∠PEM，得出∠AEM＝∠AME，因此AM＝AE，由平行線得出AN/CN=AE/CE，即可得出結論∴CN＝CE；

②設CN＝CE＝x，由矩形的性質和勾股定理得出AC＝5，則PE＝AE＝5﹣x，由平行線得出EP/CE=AB=AC=4/5，求出x＝25/9即可；

（Ⅱ）由摺疊的性質得AE＝PE，由三角形的三邊關係得，PE+CE＞PC，由AC＞PC，得出PC＜5，點E是AC中點時，PC最小為0，當點E和點C重合時，PC最大為AC＝5，即可得出CP的長的取值範圍；當點C，N，E重合時，PC＝BC+BP＝5，得出BP＝2，由摺疊知，PM＝AM，在Rt△PBM中，PM＝4﹣BM，根據勾股定理得出方程，解方程求出BM＝3/2，在Rt△BCM中，根據勾股定理即可得出結果．當CP的長最大時MN的長為3√5/2．