禿不禿頭誰說了算，耳目一新的新方法來界定，揭去模糊數學的面紗

數學一向以高度的嚴密性、高度的精確性、高度的抽象性著稱。似乎無論從表達上還是計算上都和“模糊”一詞八竿子打不著。然而，在20世紀60年代，卻誕生了一個“模糊數學”，你說奇怪不奇怪？

01

禿子悖論說起

禿子悖論認為：如果一個有X根頭髮的人被稱為禿子，那麼，有X+1根頭髮的人也是禿子，有（X+1）+1根頭髮的還是禿子。如果以此類推下去，無論你有多少根頭髮都難逃自己是禿子的命運。太可怕了，這顯然是有問題的。

關於禿子悖論，有人就這麼說了，我們可以一般人平均具有的5000根頭髮為界，規定以下為禿子，以上為不禿。如果真的這樣規定，那麼，4999根算不算禿？有5000 根頭髮的她或他，在梳妝打扮時，梳落了一根，是否當即成為一名“禿子”呢？顯然太荒唐！

為什麼我們一眼看上去就知道上面的結論是錯誤的呢，因為它太明確、太絕對了！對於這個禿子問題，它不是非此即彼、非0即1的，而是一個界限不那麼明確、相對模糊的概念。

在日常生活、生產實踐和科學研究中，像這樣模糊現象是大量存在的。比如，這個人美不美？老不老？高不高？胖不胖？這個城市大不大？乾淨不乾淨？住房緊張不緊張？回答這些問題常有不同答案。還有鍊鋼工人操縱爐溫、高階廚師掌握火候、中醫師切脈診治、藝術家的靈感、科學家的創造等。這些都是模糊現象。

這類模糊現象十分複雜的現象，它們既不可能被明確界定為精確量，也不可能從統計上來尋求規律性；只有當模糊現象找到可以被精確的數學語言所描述的方法時，科學家才有可能運用精確的數學方法對它進行研究。為此，美國控制論專家洛德菲札德於1965年發表了題為《模糊集合論》的論文，首先提出了“模糊集合”這一概念，第一次引人注目地提出模糊性問題，並給出模糊概念的定量表示方法，數學才開始進入帶有模糊性的複雜“大系統”，標誌著一門嶄新的數學分支——模糊數學的產生。

傳統的數學集合是以“是”或“非”為基礎的。用數學符號來描述則用“1”或“0”。在模糊教學裡，則用0～1之間任何數值去刻畫事物從屬這個集合的程度，稱作隸屬度。

模糊數學認為，普通集合是一個明確的集合。對於這種集合，一個事物與它有明確的隸屬關係，要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合。如果把這種特徵看作是一種函式關係式，則可以寫成：

這裡的A（u），稱為集合A的特徵函式。

對於模糊集合，一個事物與它沒有“屬於”或“不屬於”的絕對分明的隸屬關係。也就是說，一個事物可能有一大部分或一小部分屬於這個集合。即一個事物屬於這個集合處於“亦此亦彼”的模糊狀態。模糊集合論的創始人查德給出了集合的隸屬函式的概念，隸屬函式是把特徵函式值由二值｛0，1｝推廣到［0，1］閉區間上的任意值。通常把隸屬函式表示u（u），它滿足0≤u（u）≤1（或記作u（u）∈［0，1］）。

所謂給定論域U上的一個模糊子集A是指：對於任意u∈U，都指定一個數u（u）∈［0，1］，叫U對A的隸屬度，函式U（U）叫做A的隸屬函式。

例如，“年輕”是一個模糊概念，確定一個人是否年輕是困難的，因為它沒有明確的界線。現在我們用模糊集合的方法就可以劃分一個人的年輕“程度”。取論域u＝［0，100］（年齡）。設描述“年輕”的集合為Y。年齡U屬於Y的隸屬度為：

由Y（23）＝1，Y（40）＝0。1知，23歲的人隸屬年輕的程度為100%，而40歲的人隸屬年輕人的程度為10%。

有關隸屬函式的選取，是模糊集合中一個較為複雜的問題，目前尚無固定和通用的模式。普通集合與模糊集合有著內在聯絡，當隸屬函式u（u）只取［0，1］閉區間的兩個端點值0，1時，隸屬函式就退化為特徵函式A（u），從而模糊集合也就轉化為普通集合了。

02

模糊數學應用，人工智慧的開啟

在模糊數學的理論研究中，目前已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊環論、模糊機率論等分支。雖然模糊數學是一門新興學科，但它已應用於自動控制、聚類分析、模式識別、系統理論、模擬技術、機器學習、資訊處理、資訊檢索、邏輯電路、語言學、經濟學、心理學和醫學等各個方面。模糊數學的理論還可能用於新型計算機的設計，使得計算機向著人工智慧化方向迅速發展；不久的將來就會出現能與人用自然語言對話、更接近於人的智慧的計算機——模糊計算機。所以，模糊數學將越來越顯示出它的強大生命力和滲透力。

模糊數學發展的主流是在它的應用方面。由於模糊性概念已經找到了模糊集合的描述方式，人們運用這一概念進行判斷、評價、推理、決策和控制的過程也可以用模糊數學的方法來描述。例如模糊數學在家用電器方面發揮著非常重要的作用，並已獲得巨大的經濟效益。在日本和韓國，模糊數學已深深地滲透到日常生活中，達到了家喻戶曉的程度；家電產品（電視機、洗衣機、空調機、電冰箱、電飯煲等）幾乎全部模糊控制化了，產值高達3500億美元。

可以不僅如此，模糊集合理論作為一項重要的理論，它在許多專業上都有應用。這裡以土木工程為例，美國土木工程學界使用模糊集合的例子可以追溯到1971年，但在1975年和1977年布勞克利的文章出現之前，有成效的工作並不顯著。這位英國學者的工作在美國引起了強烈的反響。

布勞克利將模糊性融會於機率之中，而又不失掉我們所熟悉的機率估計的觀點，這是他方法的高明之處。布氏的工作很快就被應用到地震震害的估計，日本隨之刊印出模糊集合文獻彙編，中國地震學界也開始應用。吉羅編輯的《建築科學回顧》一書中闡明瞭模糊集合在建築藝術和構築物設計中的作用，於是模糊集合理論的應用在國際間廣泛地流行起來了。

03

模糊數學作為思維方法給我們啟示

第一，數學思維是人類不受限制的可探索一切領域的思維形式。數學思維可以考察偶然發生的隨機事件，並尋找其背後的規律，同時數學思維也可以把模糊不清的中介狀態，給出明確的數學表述。

第二，模糊數學的思維方式擴大了數學的應用領域，不僅在數學自身的領域，更重要的是在資訊革命的計算機領域。利用模糊思維的方式，計算機將大大提高模糊識別、模糊選擇、模糊決策的能力。

第三，模糊數學的方法及其思維方式，在方法論的意義上，使人們對“同一”與“差異”的理解有了新的啟示。同一與差異是經典的數學方法，普通集合論就是利用同一與差異作為數學方法來描述的。普通集合論是指具有某個同一性質的事件全體，與同一性質相差異的就被排斥在外。現在模糊數學為這種同一與差異做出了新的解釋，在隸屬程度的意義下，把差異與同一聯絡起來，並且將“部分的同一”數量化，這無疑是對方法論的重大貢獻。