七年級下學期，命題、定理與證明，不要混淆基礎概念

七年級下學期數學，命題、定理與證明，不要混淆基礎概念。要會理解命題、定理與證明的概念，區分命題的題設與結論，會判斷真、假命題，知道證明的意義和必要性。

判斷一件事情的語句叫做命題，只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題，如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那麼它就不是命題。命題是由題設和結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。

01

命題的概念

例題1：下列句子是不是命題？

（1）延長線段AB到點C；

（2）兩點之間線段最短；

（3）∠α與∠β不相等；

（4）2月份有4個星期日；

（5）用量角器畫∠AOB=90°；

（6）任何數的平方都不小於0嗎？

解：（1）延長線段AB到點C，它為描述性語言，不是命題；（2）兩點之間線段最短；它是命題；（3）∠α與∠β不相等；它是命題；（4）2月份有4個星期日；它是命題；（5）用量角器畫∠AOB=90°；它為描述性語言，不是命題；（6）任何數的平方都不小於0嗎？它為疑問句，不是命題．

02

命題的改寫

命題常寫成“如果……那麼……”的形式，這時“如果”後接的部分是題設，“那麼”後接的部分是結論，有些命題的形式不明顯，需要先將它們寫成以上形式。

例題2：將下列命題改寫成“如果……，那麼……”的形式。

（1）對頂角相等；

（2）不相等的角不是對頂角；

（3）在同一平面內，垂直於同一條直線的兩直線平行；

（4）三角形的一個外角等於與它不相鄰兩內角的和。

分析：（1）：題設為：兩個角是對頂角，結論為：這兩個角相等，故寫成“如果…那麼…”的形式是：如果兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等。

（2）題設是兩個角不相等，結論為這兩個角不是對頂角．改寫成“如果…那…”的形式為：如果兩個角不相等，那麼這兩個角不是對頂角。

（3）題設是兩條直線都垂直於同一條直線，結論為兩條直線平行．改寫成“如果…那…”的形式為：在同一平面內，如果兩條直線都垂直於同一條直線，那麼這兩條直線平行。

（4）題設是一個角是三角形的外角，結論為這個角等於與它不相鄰兩內角的和．改寫成“如果…那…”的形式為：如果一個角是三角形的外角，那麼這個角等於與它不相鄰兩內角的和。

03

真命題、假命題

有些命題如果題設成立，那麼結論一定成立；而有些命題題設成立時，結論不一定成立。正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題。

確定一個命題真假的方法：利用已有的知識，透過觀察、驗證、推理、舉反例等方法。

例題3：如圖，∠ACD是∠ACB的鄰補角，請你從下面的三個條件中，選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，得出一個真命題．①CE∥AB；②∠A=∠B；③CE平分∠ACD．

（1）由上述條件可得哪幾個真命題？請按“”的形式一一書寫出來；

（2）請根據（1）中的真命題，選擇一個進行證明．

解：（1）上述問題有三種正確命題，分別是：

命題1：①②③；命題2：①③②；命題3：②③①．

（2）解：選擇命題2：①③②．

證明：∵CE∥AB，

∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B．

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．

∴∠A=∠B．

判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子（反例），它符合命題的題設，但不滿足結論就可以了。

04

公理、定理

數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，並把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理。

比如：經過兩點只要一條直線；兩點的所有連線中，線段最短；在平面內，經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，等等。

有些命題可以從公理或其他真命題出發，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，並且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理。

比如：同角的餘角相等；同角的補角相等；垂線段最短；兩直線平行，內錯角相等，等等。

公理和定理都可作為判斷其他命題真假的依據。

05

證明

在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明，證明的每一步推理都要有根據，不能“想當然”。

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