很多人都不知道：泰勒級數其實很好理解，高中生也可以懂！

關於常數的導數，x的n次方的導數，以及正弦函式的導數以及餘弦函式的導數，我們由下圖給出，讀者可以在任何的高等數學課本中找到具體的推導過程，我們假定讀者已經知道了這些事實。

常數的導數，x的n次方的導數，以及正弦函式的導數以及餘弦函式的導數

我們假定正弦函式sinx可以被展開成a0*x^+a1*x^+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+。。。。這樣的冪級數的形式，那麼右下圖可知，我們可以將這個冪級數求導，我們發現，正弦函式經過四次求導以後變為原來的函式即正弦函式，根據x的n次方函式的求導法則可以得到如下圖所示的關係，我們發現：

對於任意n的an*x^n，只需要經過n次求導就可以將n次項變為常數項。

我們現在將x=0帶入上圖的關係式中，這樣做的目的是為了消去這些含有x的項，得到具體的係數ai的值。

我們發現：

偶次冪的項的係數都為0，而奇次冪的項的係數為對應奇次冪的階乘

。

只有正整數才有階乘，正整數n的階乘我們用n！來表示：

n！= 1×2×3×……×n

因此現在我們可以將sinx可以被展開成a0*x^+a1*x^+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+。。。。這樣的冪級數的形式，即：

sinx= 1！*x^1+3！*x^3+5！*x^5+7！*x^7+。。。 +（2n+1）！*x^（2n+1）+。。。

我們稱這樣的冪級數展開叫做正弦函式的泰勒展開。你可以自己推匯出餘弦函式的泰勒展開嗎？請讀者自己試一試。