高中數學，數列遞推公式到通項公式到前n項和，學好它只需知這些

原題

原題：已知數列｛an｝滿足na（n+1）－（n+1）an=1（n∈N+），且a1=1。

⑴求數列｛an｝的通項公式；

⑵若數列｛bn｝滿足bn=an/3^（n－1），求數列｛bn｝的前n項和Sn。

圖一

這道題主要考察的是數列由遞推公式到通項公式的一些方法步驟以及注意事項和常見的求數列前n項和一些方法。

下面就在講解該題的過程中詳細地說明這些步驟、注意事項和一些常用的求前n項和的方法。

第一問

第一問要求的是數列｛an｝的通項公式。

想要求數列｛an｝的通項公式一般只需要知道該數列的遞推公式即可，然後根據數列的遞推公式的一般步驟得到數列的通項公式。

具體做法：

第一步，將遞推公式中an和a（n+1）轉化成有規律的形式。

因為數列an滿足遞推公式為na（n+1）－（n+1）an=1，且n∈N+，所以等式左右兩邊同時除以n（n+1）得到，a（n+1）/（n+1）－an/n=1/n（n+1）。

所以這裡我們需要掌握的是數列的遞推公式中一旦出現“na（n+1）－（n+1）an”形式的時候，要將這樣的形式轉化為“a（n+1）/（n+1）－an/n”這樣的形式。

但是對於出現a（n+1）=（an）^2這樣的形式，就需要藉助對數的形式將其化成等比數列的形式。

第二步，將a（n+1）/（n+1）和an/n均看成一個整體。

將a（n+1）/（n+1）和an/n均看成一個整體，該數列的遞推公式就看成了數列｛an/n｝的相鄰兩項之差為1/n（n+1）的遞推形式。

注意：1/n（n+1）=1/n－1/（n+1），這也是我們需要掌握的內容，因為1/n（n+1）=1/n－1/（n+1）這種形式一般都是的可以將數列進行裂項相消的。

第三步，將數列an用該數列的遞推公式的形式去表示。

將數列an用該數列的遞推公式的形式去表示，一般都是借用數列的裂項相消的反向還原的方式來得到。

因為a（n+1）/（n+1）－an/n=1/n（n+1）=1/n－1/（n+1），所以有an/n－a（n－1）/（n－1）=1/（n－1）－1/n（n≥2）。

根據減去一個數再加上一個數該數不變的原則有

an/n=an/n

－a(n－1)/(n－1)+a(n－1)/(n－1)

－a（n－2）/（n－2）+a（n－2）/（n－2）

－

a(n－3)/(n－3)+a(n－3)/(n－3)

－…－a2+a2－a1+a1。

圖二

因為該等式中每一項均滿足遞推公式an/n－a（n－1）/（n－1）=1/（n－1）－1/n（n≥2），即a2/2－a1/1=1－1/2，a3/3－a2/2=1/2－1/3，a4/4－a3/3=1/3－1/4，…，an/n－a（n－1）/（n－1）=1/（n－1）－1/n（n≥2）。

所以an/n=

1/(n－1)－1/n

+

1/(n－2)－1/(n－1)

+…+

1/3－1/4

+

1/2－1/3

+

1－1/2

+a1。

將該式消去相同項得到an/n=1－1/n+a1，因為a1=1，所以an/n=2－1/n，整理得到an=2n－1。

寫到這裡an=2n－1是不是就是數列an的通項公式呢？

這需要注意的是這時an=2n－1是在n≥2才成立，所以我們還要驗證a1是否也符合這個數列，如符合就說明該數列就是an=2n－1，如不符合也要單獨說明a1項。

當n=1時，該數列a1=2×1－1=1，因為題中已給出a1=1，所以數列首項a1也是符合數列an=2n－1，所以該數列｛an｝通項公式為an=2n－1。

第二問

第二問是給出了數列bn和數列an的關係，然後讓你求數列bn的前n項和。

在高中數學領域內求數列的前n項和總共可以分為三大部分：

第一部分，就是藉助數列的前n項和公式就可以求出的前n項和，屬於基礎題型；

第二部分，就是需要藉助一些方法，例如裂項相消、倒序相加、錯位相減等方法可以求出的題，屬於中等程度的題型，也是考試普遍考的較多的題型；

第三部分，就是難度比較大的、且以固定形式出現求前n項和的題型，即Tn=1^2+2^2+3^2+4^2+…+n^2，Rn=1^3+2^3+3^3+…+n^3等等，該題型只需要記住計算的方法就可以了，在考試中也較少出現的內容。詳細可見

高中階段特殊數列的前n項和以及證明大全

圖三

該題第二問就屬於上述的第二部分的題型，也是比較常出現的重要內容。

該內容只需要藉助“錯位相減”的方法，然後再借助等比數列的前n項和公式即可求出前n項和。

具體做法如下：

因為an=2n－1，且bn=an/3^（n－1），所以bn=（2n－1）/3^（n－1），所以該數列bn的前n項和為Sn=1+3/3^1+5/3^2+7/3^3+…+（2n－1）/3^（n－1）①。

將①式左右兩邊同時除以3，則有Sn/3=1/3+3/3^2+5/3^3+7/3^4+…+（2n－3）/3^（n－1）+（2n－1）/3^n②。

①－②得到

2Sn/3=1+2［1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^（n－1）］－（2n－1）/3^n

2Sn/3=1+2×［1－1/3^（n－1）］/3/（1－1/3）－（2n－1）/3^n=2－（2n+2）/3^n，所以有Sn=3－（n+1）/3^（n－1）。

總結

該題第一問需要知道數列的遞推公式得到通項公式的一般過程以及注意事項。

該題的第二問需要知道數列前n項和的三種不同難度的題型以及一般解法。

想要學好數學，不僅僅是要靠練習達到將知識點靈活運用，還要學會歸納和總結。

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