分形幾何對數學教學的啟示

一、創設情境，激發興趣

1967年法國數學家曼德爾勃羅特（B。B。Mandelbrot）提出了“英國的海岸線有多長？”的問題，這個問題似乎很簡單，但是當用不同的測量單位測量時得到的結果差異非常大。我們知道，經典幾何研究的都是規則圖形，傳統上都將自然界大量不規則的圖形規則化之後再進行處理，也將海岸線折線化以後再得到一個有意義的長度。可事實上海岸線是極不規則和極不光滑的，所以理論上能得到的結果事實上未必能夠測量的出來。

透過研究，曼德爾勃羅特發現，海岸線具有自相似性，也就是將海岸線區域性放大以後，具有和本身一樣的性質。其實自然界的很多事物都具有這種性質，比如樹木，植物的葉子，海浪等。

1973年，曼德爾勃羅特在法蘭西學院講課時，首次提出了分形幾何的設想。分形（Fractal）一詞，是曼德爾勃羅特創造出來的，其原意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究物件的幾何學。由於不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立以後，很快就引起了許多學科的關注，這是由於它不僅在理論上，而且在使用上都具有重要價值。

二、問題驅動，增設懸念

【問題1】

將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，並擦去中間一段得到第2個圖，如此繼續下去得到第3個圖，……試探求第個圖形的邊長和周長。

【問題2】

一個正方形被等分成九個相等的小正方形，將中間的一個正方形挖掉；再將剩餘的每個正方形都分成九個相等的小正方形，並將中間的一個正方形挖掉；如此繼續下去……假設原正方形的邊長是，那麼第個圖形共挖掉了多少個正方形？這些正方形的面積和是多少？

這是蘇教版必修5課本上面的兩個問題，這樣的問題在平時的練習當中並不常見。雖然作圖要求很簡單，但是作出的圖形卻非常漂亮，尤其是問題1中著名的科赫雪花曲線與自然界的雪花非常相似，由此，學生還可以聯絡生活，得到更多有關生活的數學問題，並在以後的數學學習中加以練習，慢慢認識到數學並不是完全脫離實際生活的，只是在悠久的歷史中，數學是生活的抽象與概括，是用更加嚴密的計算與邏輯來論證與推導，是以生活為基礎的昇華。

三、師生互動，目標達成

讓學生自己動手作出圖形，不僅讓他們提高動手能力，還能夠更好的理解題意，幫助解題。

【問題1的圖形】

首先，第1個圖形是邊長為1的正三角形。以後每一個圖形的生成是在前一個圖形的基礎上對每條邊作這樣的操作：將邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，並擦去中間一段。這裡學生要注意的是“向形外作正三角形”，也就是說，後一個圖形要在前一個圖形上再作正三角形，邊長是原來的三分之一，而且是向外“生長”的，然後還要將原來邊上的中間一段（即三等分的中間一段）擦掉。所作圖形分別如下：

要給學生充足時間去欣賞，並觀察變化中的數量關係。接著讓學生自己作出問題2的圖，大家作出後互相討論，教師最後展示同學們的圖形，也展示教師準備好的圖形，並讓學生解釋。

【問題2的圖形】

問題2圖形分別如下：

教學中要注意，下一個圖形的生成都是在前一個圖形的基礎上重複相同的作圖步驟，最為關鍵的是第3個圖形的作法，由此可以看出學生是否真正理解了題意並具備了動手操作的能力，這是解決這個問題的前提。提示學生這種不停重複的操作我們稱之為“迭代”。

四、建構模型，延伸拓展

要解決上面兩個問題，首先要解決它們是屬於哪類數學問題。高中數學中與“迭代”關係密切的知識就是數列的遞推表示（迭代函式較少涉及），所以可以透過建立數列的模型來嘗試解決問題。先指導學生解決問題1。首先要“設”，然後“列”，再“解”。假設第個圖形邊的條數是，邊長是，周長是，那麼，。由於每次都是把前一個圖形的邊三等分然後作正三角形並擦掉中間一段，則。那麼周長又怎麼計算呢？多數學生可以發現每一個圖形都是正多邊形，所以只要知道邊長和邊數，就可以計算出周長了，而前邊已經解決了邊長，只要再解決邊數怎麼計算即可。透過觀察得到一次變化後的圖形的邊數是原來的4倍，因為每次變化都是將原來的1條邊變成4條邊，即。第個圖形的周長是。

問題2相對問題1要容易解決，所以先由學生獨立思考，如果學生不能獨立完成，可以給出下列分析後再由學生進行建模並完成：第1個圖形挖掉了1個正方形，第2個圖形挖掉了個正方形，……，第個圖形挖掉了個正方形。第1個圖形挖掉的正方形的邊長是，面積是；第2個圖形挖掉的正方形的邊長是，面積是，……，第個圖形挖掉的正方形的邊長是，面積是，於是得到這些挖掉的正方形的面積和是。

五、總結反思，昇華理念

讓學生總結反思分形幾何的處理過程和處理方法，體會作圖不僅僅是作圖，更是在欣賞的情形下概括其中的數量關係。這是建構數列模型的基礎。當然解決模型也要觀察數列式子的結構，總結兩個問題的數列解決方法。這樣也在解決分形問題中學習處理數列的問題。

作為教師，在帶領學生探索數學領域的過程中，不僅要遵循數學的嚴謹，也要注重數學的魅力，抓住時機展現數學美麗的一面，慢慢消除學生對於數學固有的恐懼與抗拒，使學生能夠親近數學、喜歡數學、學好數學。

分形幾何是一門新興的學科，與傳統的歐式幾何完全不同，它更加貼近生活，也解釋了許多傳統幾何無法解釋的知識。更多的有關分形的知識，可以訪問有關網站來獲得。