彈性力學三大基本方程

彈性模量的單位是什麼

第一個基本方程是平衡方程（3個方向）；第二個基本方程是物理方程或者本構方程（3個主方向➕3個剪下方向）；第三個基本方程是幾何方程（3個主方向➕3個剪下方向）。

三個方程對應了三個基本規律：變形連續規律、應力-應變關係和運動（或平衡）規律，它們有時被稱為彈性力學三大基本規律。彈性力學中許多定理、公式和結論等，都可以從三大基本規律推匯出來。

一、變形連續規律對應了幾何方程。彈性力學（和剛體的力學理論不同）考慮到物體的變形，但只限於考慮原來連續、變形後仍為連續的物體，在變形過程中，物體不產生新的不連續面。如果物體中本來就有裂紋，則彈性力學只考慮裂紋不擴充套件的情況。反映變形連續規律的數學方程有兩類：一是幾何方程，二是位移邊界條件。幾何方程反映應變和位移的聯絡，它的力學含義是，應變完全由連續的位移所引起，在笛卡兒座標系中，幾何方程為：

若所考慮的物體Q在其一部分邊界B1上和另一物體Q1相連線，而且Q在B1上的位移為已知量，在B1上便有位移邊界條件：

二、應力-應變關係對應了物理方程或者本構方程。彈性體中一點的應力狀態和應變狀態之間存在著一定的聯絡，這種聯絡與如何達到這種應力狀態和應變狀態的過程無關，即應力和應變之間存在一一對應的關係。若應力和應變呈線性關係，這個關係便叫作廣義胡克定律，各向同性材料的廣義胡克定律有兩種常用的數學形式：

和

式中為應力分量；λ和G為拉梅常數，G又稱剪下模量；E為楊氏模量（或彈性模量）；v為泊松比（見材料的力學效能）。λ、G、E和v四個常數之間存在下列聯絡：

三、運動（或平衡）規律對應平衡方程。處於運動（或平衡）狀態的物體，其中任一部分都遵守力學中的運動（或平衡）規律，即牛頓運動三定律，反映這個規律的數學方程有兩類：一是運動（或平衡）微分方程，二是載荷邊界條件。在笛卡兒座標系中，運動（或平衡）微分方程為：

對於均勻而且各向同性的物體，應力分量可按式（3a）用應變分量表示，而應變分量又可按式（1）用位移分量表示。兩個公式依次代入方程（5），便得到用位移表示的運動微分方程：

式中θ為體應變，即：

△為拉普拉斯算符，即：

類似地，在方程（6）中略去慣性力，便可得到用位移分量表示的平衡微分方程。如果考慮物體一部分邊界B2是自由的，在它的上面有給定的外載荷，則根據作用力和反作用力大小相等方向相反的原理（Pi數值上等於fi），在B2上有如下載荷邊界條件：

對彈性力學的動力問題，還需說明物體的初始狀態，即：當t=t0時，

例如，柱體扭轉和彎曲中，一個側面不受外力的細長柱體，在兩端面上的外力作用下會產生扭轉和彎曲。根據聖維南原理，柱體中間部分的應力狀態只與作用在端面上載荷的合力和合力矩有關，而與載荷的具體分佈無關。因此，柱體中間部分的應力有以下的表示式：