物理競賽典型例題精講——液體中倒立半球壓力

02-05-3_液體中倒立半球壓力

本期高中物理競賽試題，我們共同來研究液體壓強和壓力的相關題目，並透過最近幾期的液體壓強和壓力的內容，總結並分析該型別題目的解題思路和方法，瞭解該類題目的考察重點難點，並總結規律，此類題目因為考察內容單一，方法比較固定，其難點也在於合理的受力分析過程，由於液體壓強具有對稱性，因此在受力分析時，雖然是比較複雜的受力情況，但透過受力的分解與合理的組合後，能夠將複雜的受力情況變成簡單的受力情況，從而簡化計算和分析過程，有些時候還需要應用微元累加的幾何意義，轉化成幾何關係的計算，得到最終的結果，方法就先總結到這裡了，可能有些難懂，但是透過最近題目的解題過程，相信同學們會明白的，整體而言，此類題目難度不大。

好了，看看此類題目的第一個題吧，本著從簡單入手的原則，這個題目還是很有代表性的，因為重要的方法和分析手段在這個簡單題目中都以最容易理解的方式呈現出來了，但是題目的解題過程中也有一個小坑的存在，該小坑的存在也容易使該題目整體不得分，因此還是一個非常重要的知識點，應該著重重視一下，對於該題目，也建議同學們能夠自己動手做一下，思考一下解題思路，一般而言，你的第一次的思路應該都是不對的。

好了，不再多說了，先看題目吧，然後具體總結。

高中物理競賽典型題與解題步驟

有一密度為p1，半徑為r的半球體放在盛有密度為p2的液體的容器底部，其與容器底部緊密接觸（即半球地面與容器底面間無液體），如圖1所示，若液體深度為H，問半球體對容器底部的壓力是多大？（設外界大氣壓為p0）

高中物理競賽題解題方法與思路

看完解題步驟了吧，是不是跟你的想法不一樣，有些同學可能認為老師的思路過於複雜，而自己的分析過程更加簡單有效吧。因為直接分析容器底面的受力可知，其底面的受力一共有三部分組成，分別是大氣壓的作用，水壓的作用和半球體的重力的作用，因此將三部分組合在一起就是，並且答案還是相同的，多好的思路啊，但是這個思路其實是錯誤的，並且由於該思路的錯誤，將直接導致整個解題過程中出現理論性的錯誤，從而沒有分，這個結果是非常可怕的，看完解題過程後面的思路分析，同學們就應該清楚，該問題的出現主要在帕斯卡原理上，因為上面的分析過程中，認為液體傳遞了大氣壓力而不是大氣壓強，這個錯誤，也是在液體壓強解題過程中，非常容易出現的，因此好格外注意。

說完這個錯誤的思路，後面來看看正確的解題過程，首先就是要分析作用在半球體表面的壓強，透過帕斯卡原理，不難知道，其壓強的大小等於液體壓強和大氣壓強兩部分的和，並考慮該壓強作用在半球體表面的一個微元面上的受力，即最終得到了方程一的表示式，由於液體壓強和半球體的對稱性的原因，考慮將受力分解到兩個方向，並將水平方向的力相互抵消掉以後，發現其壓強的作用力只有向下的分量，水平方向的分量相互抵消掉了，這樣就得到了方程五的表示式，對於方程三，方程五多了角度餘弦的乘積，由於角度在該過程中屬於變數，因此該角度的餘弦值必須處理掉，否則要想解題只能使用微積分的方法，並且表示式很複雜，仔細研究該式子，考慮微元面的餘弦值的話，透過圖3的分析發現，微元面的餘弦值正好是水平方向的面積，因此可以將微元面的餘弦值轉化為水平面積，即得到了方程七，並進一步化簡得到方程八的表示式。

此處又是題目中的另一個難點了，對於大氣壓一項的水平微元面積的累加就是水平面積，這個還是比較容易理解的，但是深度與水平微元面積的乘積的微分就稍有些複雜了，考慮到半圓球體上深度相同的位置為一個圓環時，並乘以深度，就得到了該圓環的體積，因此累加後得到的體積應該是容器中液體體積的部分，即得到了該累加項的值，即解題步驟中的方程十，代入到方程八中，最終得到結果，方程十一，由於題目考察的是容器底面的受力，即壓力和半球體重力的總和，因此代入到方程十二中，最終得到答案，即方程十三的表示式。