數學家是如何研究人口增長的
2021-07-03由 數學救火隊長馬丁 發表于 農業
人口增長率如何計算
1。引言
人口問題是本世紀人類所面臨的重大問題之一，相信不少人都聽說過
“人口爆炸”
這個詞。這個詞最早出現在斯坦福大學生物學教授
保羅·艾裡奇(PaulEhrlich)
於1968年出版的一書
《人口爆炸》
中，指的是
現代世界人口增長超過了土地和自然資源的承載力，必然會導致一系列的人類生存危機
。
這一說法是有統計數字做支援的，地球人口從10億到20億用了100多年，從20億到40億用了不到70年，而在
2012年
，世界人口已經突破了
70億
，據預測到本世紀中葉世界人口可能超過
100億
，很多人認為地球是無法承載這麼多人口的，這才有了所謂的
“人口爆炸”
理論。社會學家和統計學家利用各種工具與理論來研究人口增長，為人類的未來尋找出路。
東京街頭擁擠的人潮
人口爆炸理論
是西方學者關於人類未來的一種悲觀預測，不過也有不少反對觀點。當然，本文不打算陷入社會學和人口學的爭論當中，只是來討論一下數學家是怎麼研究人口增長問題的。
而從數學的角度來研究人口增長，是始於18世紀
。
主要方法就是建立數學模型，透過對既有的人口資料進行擬合，來預測未來的人口資料。建立模型所使用的工具就是
微分方程(differential equation)，
從最簡單的指數增長模型開始，不斷地往裡面加入新的因素，比如，
環境容量，人口遷徙，年齡結構
等等因素，到如今模型已經變得非常複雜。我們今天就來簡單介紹一下三種最基本的模型。
2.指數增長模型(exponential growth model)
指數增長模型是最早的，也是最簡單的人口增長模型，它是由
英國
人口學家、經濟學家
馬爾薩斯(Thomas Robert Malthus，1766~1834)
提出來的。因此也叫
馬爾薩斯模型。
馬爾薩斯肖像
馬爾薩斯1766年生於英國的一個貴族家庭，1784年進入
劍橋大學
，1798年成為牧師，並開始進行人口學研究，1805年成為英國第一位經濟學教授。
馬爾薩斯的代表著作是出版於1798年的
《人口論》（Principle of Population）
，也翻譯成
《人口原理》
。在這部書裡他提出一個重要理論：
在不加限制的情況下，人口將呈幾何級數增長，而生產資料呈算術級數增長。
這裡的幾何級數和算術級數聽起來可能比較陌生，但它實際上就是
等比數列和等差數列
的意思。而等比數列對應到函數里面就是
指數函式(exponential function)
，因此這個模型也成為
指數增長模型
。
那麼具體是如何計算的呢？這就需要使用到
微分方程
的知識了。先明確一下自變數，我們用
t
來表示時間。它的單位根據研究的問題而定，比如統計年份的人口時我們可以把t的單位設成年。
人口增長模型名為“人口”，但實際上研究的不一定是人，
動物、微生物等
的數量增長，也可以用這個模型，比如生態學家在研究大森林裡生活的狼的數量。因此在研究這些問題時，有的時候
t
的單位是
月
，有的時候是
天
，甚至對於研究某些細菌增長來講，它的單位可能就是
小時
。
我們用
y
來表示人口總量，它隨著時間的增長而增長，因此y是一個關於t的函式，我們寫成
y(t)
。
模型的假定是：
某一時刻人口的增長率和該時刻的人口總量成正比
，比例常數我們記為
k
，而
人口增長率
即是y關於t的導數，於是我們可以得到微分方程：
這個微分方程非常簡單，是典型的
可分離變數型的微分方程
，所以我們就利用
分離變數法(seperation of varible)
進行求解：
經過化簡可以得到最終結果：
其中C為某個常數可以看出當t等於0的時候，y的值就是C，所以C表示的就是
初始人口
。
這是一個典型的指數函式，k的值根據所研究的問題來決定，它也越大，增長的速度也就越快，當然k也有可能是負值，這樣的話人口就是負增長的。這時我們就把它稱為
衰減模型
。我們知道，指數函式的影象增長速度是非常快的，比如初始人口是500，k是0。4時，它的影象如下：
馬爾薩斯的理論對後世產生了深遠的影響，按照他的理論，
指數增長的速度要遠遠快於線性增長
，通俗的講，就是說人口的增長要遠遠快於糧食的增長，因此遲早會出現糧食供應不足的情況，最底層的人就會被餓死。這就是所謂的
“馬爾薩斯陷阱”
。
1972年，一個由全球著名專家學者組成的國際性民間學術組織——
羅馬俱樂部
，發表了一份研究報告，名字叫做
《增長的極限》
。在報告中，以經濟學家
丹尼斯·米都斯(Dennis L．Meadows)
為代表的專家認為，人類的經濟增長不可能無限持續下去，因為環境與能源的供應是有限的，
工業社會的經濟增長付出的代價過大，而且已經沒有發展的空間了。
丹尼斯·米都斯在報告中總結到：
1、如果在世界人口數量、工業化程序、環境汙染、糧食生產、資源消耗等方面按現在的趨勢繼續下去，地球上增長的極限將在今後100年中發生。最可能的結果，是人口數量和工業生產力出現不可控制的衰退。
2、改變這種增長趨勢，建立穩定的生態環境和經濟條件，以支撐遙遠的未來是可能的——使每個人的基本物質需要得到滿足，並且都有實現個人潛力的機會。
3、如果全人類決心追求第二種結果，他們為達到這種結果而開始工作得愈快，他們成功的可能性就愈大。
這一報告是人類環保領域的重要文獻，它也是受到馬爾薩斯理論的影響的。
3. 約束增長模型(restricted growth model)
馬爾薩斯模型的缺陷是很明顯的，其實馬爾薩斯本人都指出來，
維持人口指數增長的前提條件是資源無限供應
，但這在現實生活中是不可能的。
馬爾薩斯身處的年代，正值英國的工業革命方興未艾，社會生產力得到前所未有的飛速發展，同時大英帝國向海外瘋狂地進行殖民擴張。在這種情況下，資源的確可以看成是無限的。但是當全世界的經濟都發展起來以後，能源危機逐漸凸顯，環境問題日益加劇。於是人們不得不考慮資源有限時的人口增長的問題。這種情況下，我們使用的就是
約束增長模型(restricted growth model)
。
約束增長模型的思想很簡單，就是我們引入了一個叫
環境容量(capacity)
的常量，它表示的就是在研究的環境中所能容納的最多的人口數量。
比如一個池塘裡面最多能盛2萬條魚，那麼這個池塘的環境容量就是2萬。魚的數量不能超過2萬，如果一旦超過2萬，則會有大批死亡，進而降低到2萬以下。環境容量我們用字母A來表示。
還是考慮這個池塘，有兩種情況：
第1種情況，池塘裡有500條魚；第2種情況，池塘裡有19999條魚
，在這兩種情況下，哪一個的增長率更高呢？
顯然第1種情況下增長率更高，因為這時池塘還有很大的空間，魚可以盡情地增長，但是第2種情況再增長1條就增長不下去了。這就是約束增長模型的假定：
人口增長率與剩餘的增長空間成正比
。剩餘的增長空間是A-y，比例係數仍為k，由此我們就得到了約束增長模型所對應的微分方程：
同樣是一個
可分離變數的微分方程
，利用分離變數法求得最終結果：
它的影象是下面這個樣子：
從圖形可以明顯的看出來，人口增長率經歷了一個由快到慢的過程，越接近環境容量時增長率越低，到最後幾乎就是停止增長了。
4. 邏輯斯蒂增長模型(Logistic Growth Model)
約束增長模型更多地適用於封閉環境下的人口增長，但事實上，隨著人類科學技術的進步與生產力的發展，上面兩個模型都不足以滿足研究的需要。指數增長模型雖然預言了馬爾薩斯陷阱，但它沒有考慮到人類科技的進步會導致生活資料也有可能呈指數增長。而約束增長模型只考慮了剩餘的增長空間，而沒有意識到在人口數量很少時，其實它可以近似看成資源無限的情形。
因此，綜合考慮上面兩個模型，
1838年
，荷蘭數學家
Verhulst
提出了第三種模型，就是所謂的
邏輯斯蒂增長模型
，這名字是從
“Logistica”
這個拉丁文單詞音譯過來的，它原有的含義是計算藝術，現在的含義是數理邏輯，因此這個名稱的大意就是符合邏輯的意思。
邏輯斯蒂模型就是綜合了上面兩個研模型所涉及到的研究因素，
人口增長率既與現有人口有關，也與剩餘的增長空間有關
，於是它的微分方程如下：
這個微分方程表面上看似比較複雜，但其實本質也是一個
可分離變數的微分方程
，我們使用分離變數法。不過求積分的時候，稍微有一些複雜，需要使用
部分積分法
，最終的結果如下：
它的影象畫出來大概長下面這個樣子：
邏輯斯蒂模型的增長曲線非常有特點，
呈“S”型
，在初始的時候，因為環境空間還非常大，所以可以近似的看成是一個環資源無限型的增長，也就是指數增長，增長率越來越快。到達某一點之後，環境約束逐漸體現出來，增長率開始變得越來越慢，並無限逼近且不超過環境容量。
中間轉折的點稱為
拐點
，可以計算出來，在y=A/2處取得。這裡特地說明一下，
拐點不是增減性發生變化的點，而是凹凸性發生變化的點。
邏輯斯蒂增長模型是目前最為符合現實的一個增長模型，很多增長問題都是用邏輯邏輯斯蒂模型來刻畫的，因此他在研究人口，種群等問題時應用得最為廣泛。
在此基礎上我們，還發展出來
邏輯斯蒂迴歸
等統計學方法。
用計算器做邏輯斯蒂迴歸模擬
5。結束語
上面的介紹給出了三種模型的原理及其表示式，我們在具體操作的時候，首先要有大量資料，利用這些資料來找到函式中的未知參量，或
初始人口，比例係數，環境容量
等等。知道這些參量的值之後也就知道了整個函式方程，那麼就可以把t帶進任意我們想要研究的數值，就可以得到預測的人口。
本圖就是對未來人口的預測，可以看出增長速度是非常驚人的
其實，大火的漫威電影《復仇者聯盟》中的反派Boss滅霸要透過打響指的方式讓宇宙間一半人口消失，就是為了防止宇宙間“人口爆炸”。
當然也不是所有人都這麼悲觀。目前地球上還沒有出現所謂人口爆炸導致的資源不足和由此引發的人口急劇下降的情況。而且隨著經濟社會發展，很多國家的出生率出現下降，並且科技的發展帶來生產力的高速發展，這些都是學者們當初所沒有想到的。但不管怎麼樣，這一理論作為對世界未來發展的警鐘，是值得每一個人反思的。
參考文獻
[1] 《人口科學辭典》，吳忠觀，成都，西南財經大學出版社
[2] Precalculus, Tenth Edition, Michael Sullivan, Pearson.
[3] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC