不變子空間與線性變換的矩陣化簡之間的關係

特徵向量的個數怎麼確定

昨天我們已經講到了不變子空間的定義，以及我們為什麼要去引入不變子空間的定義。今天我們來看一下不變子空間與線性變換的矩陣化簡之間的一個關係。我們先回顧一下不變子空間的定義：

接下來我們來看一下線性變換在不變子空間W的一組基擴充為整個線性空間的基之後，在這一組基之下的矩陣會變成什麼樣子的。

我們可以發現這個時候線性變換在這組基之下的矩陣已經變得相對簡單了，出現了分塊的0矩陣，如果可以出現更多的0那麼這個矩陣將會變得更加的簡單。於是我們找到更多的不變子空間來進行這一操作，首先我們給出這樣的一個引理：若線性空間V可以分解為二個子空間的直和，則這二個子空間的基合起來就是整個線性空間的一組基。用直和的定義可以直接得到證明。進一步，若V可以分解為二個不變子空間的直和，則：

我們可以看到此時的形狀變得更加的簡單了。於是我們可以設想，如果這樣的不變子空間足夠多的話，線性變換在這些不變子空間的基合併成為整個線性空間的基之下的矩陣最簡單的可以變為對角型矩陣。特別地由線性變換的特徵值的全體特徵向量並上0向量作成的線性空間也是線性變換的不變子空間。

我們給出下面二個定理：

而特徵子空間的維數就是某一特徵值裡線性無關的特徵向量的個數，而特徵向量是透過解齊次線性方程組解出來的，於是特徵子空間的維數即是齊次線性方程組基礎解系所含解向量的個數，於是

定理2：線性變換在某一組基下的矩陣為對角陣的充分必要條件是：V有線性變換的特徵向量做成的基也就是說並不是任何一個線性變換都可以找到一組基使得它在這組基下的矩陣剛好是對角型矩陣。這是後面若爾當標準型所要討論的內容。