職高數學，求函式值域(1)y=sinx,x∈「0,π」(2)y=2sinx,x∈「π6,π」

問題的答案放在了文章的最後面。

同學們，大家好！

這篇文章我們準備介紹職高數學中三角函式中的一種型別，就是求三角函式的值域問題，這種型別的問題是考試中常考到的型別。但是這些型別好多同學遇到的時候都不知道怎樣來做，我們今天就專門拿出來這樣的問題講一講。

三角函式求值域的問題對於大家來說是個難點，所以大家一定要仔細的看我們所寫的解題過程。要仔細的看老師在每道題中所運用到的方法，只有大家掌握了這些方法之後，我們在底下多看幾遍，多做幾遍，只有對這樣的題熟練了之後，以後遇到同樣型別問題的時候，自己才能夠做出來。

大家記清，這裡面運用到了好多的知識點，我們會在後面的敘述中詳細地寫出來，大家一定要仔細分析，仔細揣摩老師在這些題型中所講到的方法。在底下多看幾遍，多做幾遍。

同學們，下面我們就來看一下這道問題的解題思路。

（1）

函式y=sinx

當x∈［0，π/2］時，函式為增函式，

當x=0時，有最小值f（0）=sin0=0，

當x=π/2時，有最小值f（π/2）=sin（π/2）=1

當x∈［π/2，π］時，函式為減函式，

當x=π/2時，有最大值f（π/2）=sin（π/2）=1

當x=π時，有最小值f（π）=sinπ=0

所以函式的值域為［0，1］

（2）

函式y=2sinx

當x∈［π/6，π/2］時，函式為增函式，

當x=π/6時，函式有最小值f（π/6）=2sin（π/6）=1

當x=π/2時，函式有最大值f（π/2）=2sin（π/2）=2

當x∈［π/2，π］時，函式為減函式

當x=π/2時，函式有最大值f（π/2）=2sin（π/2）=2

當x=π時，函式有最小值f（π）=2sin（π/2）=0

所以函式y=2sinx，x∈［π/6，π］的值域為［0，2］

（3）

函式y=cosx

當x∈［π/6，π］時，函式為減函式

當x=π/6時，函式有最大值f（π/6）=cos（π/6）=√3/2

當x=π時，函式有最小值f（π）=cosπ=-1

當x=4π/3時，函式有最大值f（4π/3）=cos（4π/3）=-1/2

所以函式的值域為［-1，√3/2］

（4）

令sinx=t，則函式為y=t^2+t+2，t∈［-1，1］，

則函式y=t^2+t+2的對稱軸方程為t=-b/2a=-1/2，

而-1/2∈［-1，1］

所以當t=-1/2時，

函式有最小值f（-1/2）=（-1/2）^2+（-1/2）+2=1/4-1/2+2=7/4

當t=1時，

函式有最大值f（1）=1^2+1+2=4

（5）

由同角三角函式的基本關係式可知

（sinx）^2+（cosx）^2=1

則

（cosx）^2=1-（sinx）^2

代入函式式y=（cosx）^2-2sinx+3可得

y=1-（sinx）^2-2sinx+3

=-（sinx）^2-2sinx+4

令sinx=t，t∈［-1，1］可得

y=-t^2-2t+4，t∈［-1，1］

函式y=-t^2-2t+4的對稱軸為

t=b/（-2a）=-2/（-2）×（-1）=-1

當t∈［-1，1］時，函式為減函式

當t=-1時，函式有最大值f（-1）=-（-1）^2-2×（-1）+4=-1+2+4=5

當t=1時，函式有最小值f（1）=-1^2-2×1+4=-1-2+4=1

所以函式的值域為［1，5］

同學們，這樣我們就得到了這道問題的答案，大家可以仔細看一下我們所寫的解題過程，因為這道題有五問，問的型別較多，所以我們寫的解題過程很長，每問我們寫的都非常的具體，只要大家仔細的看，就一定能夠理解老師所講的其中的含義的。

因為這道題有五小題，所以每道題型牽扯到的知識點都是不一樣的，大家一定要每一道題的型別都記住，都仔細練習，只有每一道題型自己都熟悉了之後，以後遇到同樣型別的問題的時候，大家才不會感覺到那麼困難了。

大家記清，我們解決這樣型別的問題，需要用到的方法就是：大家需要記住以下幾個知識點，

①關於正弦函式y=sinx的值域問題，

正弦函式y=sinx的值域為[-1,1

］。

②y=sinx的最大值，最小值問題，定義域為［0，2π］時，

當x=π/2時，函式y=sinx取得最大值1；

當x=3π/2時，函式y=sinx取得最小值-1

。③對於函式y=sinx的單調性問題，定義域為［0，2π］時

當x∈[0,π/2]，[3π/2,2π]時，函式y=sinx為增函式；

當x∈[π/2,3π/2]時，函式y=sinx為減函式

。

④對於

餘弦函式y=cosx的值域問題，

餘弦函式y=cosx的值域為[-1,1]；

⑤y=cosx的最大值，最小值問題，定義域為［0，2π］時，

當x=0或2π時，函式y=cosx取得最大值1；當x=π時，函式y=cosx取得最小值-1

；

⑥對於函式y=cosx的單調性問題，定義域為［0，2π］時

當x∈[π,2π]時，函式y=cosx為增函式；

當x∈[0,π]時，函式y=cosx為減函式

；

⑦對於第四問和第五問，大家尤其注意這一型別的問題，因為這種型別的問題需要運用到

換元法。要令sinx=t或cosx=t，t∈[-1,1]，然後把原來的函式式子化成一個一元二次函式，然後按照一元二次函式的值域問題來做

。

⑧大家需要注意的就是這種一元二次函式的最大值和最小值問題，有時候最值在端點處取到，有時候在對稱軸處取到，所以大家一定要能夠畫出來二次函式的圖形，仔細觀察二次函式的最值在哪裡取到；

⑨大家需要記住這種一元二次函式的對稱軸方程，

一元二次函式y=ax^2+bx+c(a≠0)的對稱軸方程為x=-b/2a

，

只有大家對這種一元二次函式的最值問題記住之後，以後遇到這種型別的函式問題，大家才能夠做出來。

同學們，大家一定要對這幾道問題多看幾遍，多做幾遍，這些題型都非常典型，而且比較難做，只有大家對這些題熟悉了之後，大家才能夠再遇到同樣型別問題的時候做出來。

同學們，這就是我們今天所講的方法，你都掌握了嗎？請在後面的評論區告訴我吧！