豎直方向上的運動

在一維運動的問題中，豎直方向上的運動是我們最熟悉的一種運動形式。

前面已經討論了利用初始條件推導位置與時間的函式關係的方法，接下來用一些具體的例子說明如何運用這些方法。物體在豎直方向上的運動是我們最熟悉的一種運動，就讓我們以這種運動為例子吧。

第一個例子還是物體的自由下落運動。自從伽利略以來，人們對物體的自由下落運動做了大量精密的研究。結果發現，在地面附近，任何物體在做自由下落運動時，加速度的數值大致上是一個常數，與物體所處的地理位置和高度無關，這就是我們熟知的重力加速度。這裡所謂的“大致上是一個常數”實際上已經把由於地理位置、高度以及空氣的阻礙作用對重力加速度的影響忽略了。

由於粒子自始至終都做下落運動，選擇豎直向下的方向為

軸的正向是方便的，在座標軸的這種選擇下，

。既然加速度與時間的依賴關係（在這個問題中加速度與時間無關）已知，

利用前面的知識馬上就可以得到，加速度的原函式

。如果一個粒子從靜止開始自由下落，就必定有

。假定我們在粒子開始下落時按下計時器，則必定有

。利用這些已知條件可以得到

，於是：

知道了速度對時間的依賴關係，就可以進一步求解位置與時間的函式關係。由於

，因此，速度的原函式

如果將下落的起始位置選為座標原點，則必定有

，於是得到了

這就是我們在開始討論運動問題時，基於中學的知識而先入為主地引入的關係。

再來看一個稍微複雜一點的例子，在地面附近豎直地向上拋一個球。在這個問題中，由於球在一開始是向上運動的，因此，一個很自然的選擇就是順應這個方向，取一根以球的丟擲點為原點並且豎直向上的座標軸。在座標軸的這種選擇下，球的加速度是重力加速度的負值：

。與剛才那個例子相似，加速度的原函式

。假定我們在按下計時器的一瞬間以

的速度向上拋這個球，利用已經得到的速度的理論表示式就可以得到

進一步還可以得到速度的原函式：

由於我們以球的丟擲點為原點，因此，

。由此得到球的空間位置與時間的依賴關係：

當物體在豎直方向上運動時，位置和速度的這兩個公式都是我們在中學時期就已經熟悉的。

其實，上述兩個問題也可以用定積分法進行求解，你要不要試一試呢？如果你做過嘗試，你將會發現，對於這兩個比較簡單的問題，用定積分法進行求解會更簡潔。不過，對於一些複雜的問題，定積分法可能就會顯得累贅，在這種情況下，原函式法也許會略勝一籌。當然，原函式法也並不總是求解問題的靈丹妙藥。對於一些更復雜的問題，甚至連原函式法也無從下手。為了求解複雜問題的微分方程，數學家和物理學家發明了許多不同的求解方法。由於微分方程的解的唯一性，這些不同的求解方法得到的結果是相容的。

到目前為止，我們利用一種早就熟悉的、最常見的運動形式引出了求解運動學問題的基本思路。從下一個問題開始，我們將在這個基礎上進一步討論物體在三維空間中形式各異的運動，這些運動雖然在形式上看似複雜，但是，解決問題的基本思路與一維運動問題是相似的。