拐點和加速點的秘密

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人神共奮（ID：tongyipaocha）

，作者：人神共奮，頭圖來自：視覺中國

一、向左？向右？高爾頓釘板

前幾年，一位當大學老師的朋友說他在批卷時，會故意對考得好的同學改得嚴一點，對成績不好的同學改得松一點。

為什麼要這麼做呢？因為學校要求學生的分數接近正態分佈，為了滿足這個標準，不得不這麼打分。

學生的成績在某些時候，確實是自然呈現正態分佈的，比如一個劃片招生或隨機錄取的年級，第一次考試時的成績：

橫座標代表分數段，縱座標代表該分數段的學生人數，大部分學生集中在中間的水平，少數特別高或者特別低，而且基本對稱——這就是統計學中的“正態分佈”。

生活中正態分佈的場景非常多，比如說人的身高、壽命、血壓、很多疾病的分佈、測量誤差、對某些東西的喜好程度……，為什麼大自然這麼喜歡正態分佈呢？

下圖的“高爾頓釘板”是解釋正態分佈現象的著名實驗，將大量彈珠從上面的小口投入，下落的過程中，彈珠遇到釘子會隨機選擇向左向右滾。

想要落在中間，彈珠需要在幾次方向選擇中，遇到的“向左”和“向右”的次數相等，而落在最左

（右）

側的彈珠，必然每次都出現向左

（右）

的方向。

我們知道，彈珠遇到釘子向左向右的機率各1/2，所以幾次下落後，必然是落在中間的彈珠最多，落在兩邊的彈珠依次減少，落在最左

（右）

側的彈珠佔比，只有1/2的n次方。

這就是一個標準的“正態分佈”的形成原因，所以它有兩個必要條件：

第一，

這些個體的選擇是隨機的，彼此之間沒有任何影響

，比如劃片入學；

第二，

影響該結果的多個因素之間是獨立無關的

，比如彈珠在釘板的上一次方向與下一次方向無關。

正態分佈看似好理解，但卻導致了很多違背直覺的現象，所以也是一種獨特的思維方式和思維模型，所以本文就來聊一聊：“正態分佈”思維模型。

二、新產品營銷的加速點

很多新產品上市之後，一直不瘟不火，可似乎一夜之間就成為人人都在談論的熱點，銷量也爆起來，這中間到底發生了什麼？

這就是一個可以用正態分佈來解釋的現象。

下圖是大部分新產品的人群喜好，橫座標是喜好程度，越向右，喜好程度越高，縱座標是人數，也是呈正態分佈，中間態度的人最多，兩邊的人最少。

不同喜好程度的人，需要不同力度的營銷推廣手段：最左邊是“白送都不要”的人群，任何營銷活動都無效；最右邊是“看到就會買”的人，只要鋪貨就可以，中間最多的是看到廣告促銷後會嚐鮮的消費者。

在產品推廣中，一開始廠商只會針對最右側高喜好度的“人群1”，在他們經常出現的地方完成少量鋪貨即可。

在覆蓋了這群人之後，如果得到了正反饋，廠商就會針對“人群2”加大廣告或小幅促銷投放的力度。

從最右邊向中間的過程中，到了“人群2”的階段，曲線的斜率加大，銷量加速增長，這也成為新產品的“加速”點。

因為產品配備的營銷資源是有限的，廠商需要綜合考慮市場潛力——其實就是“人群2”和“人群3”的總量，決定費用投放的比例，“人群2”是銷量上升最快的階段，也是營銷費用投入產出比最高的階段，到了“人群3”，往往需要大量的促銷費用才能提升相應的銷量，所以，

除非是“重點產品”或者參與雙11之類的大促活動，大部分非核心產品的銷量巔峰都永遠定格在“人群2”這個階段。

上圖的產品銷量與營銷費用直接相關，但也有一些產品自帶傳播光環，並不完全依賴營銷費用，那就是帶有“社交訊號”的產品。

最典型的是時尚產品，大部分人使用該產品，一方面是自己喜歡，另一方面也是看到很多人，特別是“圈子裡的人”使用，所以產品具有“社交訊號”，代表一種小圈子的生活態度。

“社交訊號”產品的人群同樣是正態分佈，但消費者會不會接受產品，不但取決於自身的喜好，還與周圍使用者的密度有關。

這個訊號導致，有“社交訊號”的產品在“人群2”的階段，有可能自動加速進入“人群3”，並不一定需要營銷費用的同步增長，這就是很多時尚產品，從默默無聞到人人搶購，只要幾天時間的原因。

“人群2”與“人群3”的過渡階段，就是這個產品的

“引爆點”

，可惜很多企業用普通產品的線性增長的思維，沒有產能上的提前準備，結果造成長時間缺貨，延誤了產品銷售範圍擴大的最佳節點。

不過，並非所有“社交訊號”產品都可以引爆“人群3”，能否引爆取決於產品“正態分佈”的標準差，這一點，我在《大事件的引爆點》一文中介紹過一個“啟用閾值”的理論，有更詳細的論述，感興趣的讀者可以看一看這篇文章。

三、產能退出與漲價的加速點

正態分佈思維的另一個應用是判斷週期行業的產能退出速度，比如豬肉價格。

豬肉價格貴的時候40多元一斤，便宜的時候只有10多元一斤，其波動與養豬場的豬的數量負相關。豬肉的價格下跌是因為供過於求，市場的自發調節機制開始起作用，豬肉價格下降並跌破一些養豬場的成本，迫使這些產能退出市場，肉價越跌，退出的產能越多，當產能退出到一定程度，達到供需平衡點時，就是肉價的拐點，也是養豬場盈利的拐點。

因此，投資養豬股，就要判斷豬肉價格向上的拐點，重點是判斷產能退出的速度。

很多人在思考這一類問題時，容易陷入“線性思維”，即肉價下降的速度與產能退出的速度匹配，但如果你理解正態分佈現象，你就不會犯這個錯誤。

下圖是“農戶養殖時代”的養豬產能，橫座標是退出成本，即無法承受虧損的肉價，與該養豬戶的養殖成本和機會成本有關，縱座標是某一成本對應的養殖戶數量，因為大部分養豬戶養的豬數量差不多，因此可以看成是該成本對應的豬的數量。

產能與退出成本呈現典型的正態分佈，大部分農戶的退出成本在中部形成一個峰值。右側“第一檔”是在肉價高峰時進入的投機型養殖戶，這群人的數量很少；“第二檔”是無經驗的新養殖戶，養殖成本高於平均水平。

左側的“第五檔”是行業最優秀的“養豬能手”，成本最低，數量也最少，“第四檔”是對虧損的承受能力強

（即機會成本低）

的養豬戶。

在肉價剛剛下跌時，先去化的是最右側的第一檔產能，他們對利潤的期望值太高。

接下來是經驗一般、成本較高的第二檔養殖戶，當第二檔產能接近中間時，退出的產能數量開始加速。

所以，如下圖所示，豬肉剛剛進入下降週期時，降價幅度很大，只能退出少量產能，到了接近大部分養殖戶的退出成本時，只要少量降價，就有大量產能退出。

這種“非線性去產能”的特點，導致肉價需要長時間的“磨底”，投資者往往只看到肉價在底部反覆震盪，並沒有跌多少，卻“看不到”

（實際上是因為不調研）

產能退出情況，最終喪失信心，賣在黎明之前。

以上是“散養戶”時代的產能特徵，但在2016年以後，我國養豬行業進入了一個“大養殖場時代”，出現了大量超大規模的專業養殖企業，最大的牧原股份產能超過7000萬頭豬，而去年全國才出欄6。7億頭。

由於這種規模化養殖企業的成本都很低，導致產能分佈從正態分佈變成了“對數正態分佈”，即峰值從中部向左側偏移。

很明顯，現在的右側產能分佈更平緩，在肉價下降的前期，產能退出速度也更慢，其“加速退出拐點”也更滯後。

而且，這些企業的產能退出不看虧損程度，而看現金流能否支援正常運營，因此，其虧損承受能力大大強於散養戶。

結果，相比以前的週期，肉價將在底部徘徊更長的時間，對投資者的耐心和判斷力形成更大的考驗。

實際上，在經濟領域，“對數正態分佈”比標準的“正態分佈”更常見，其中隱藏著一個古老的現象——馬太效應。

四、對數正態分佈

假設對“高爾頓釘板”做一個改進，向左的彈珠在遇到下一個釘子時，向左的機率更大，向右則不變，整個分佈的峰值就會偏向左側，仍然是中心向兩側減少，但不完全對稱，統計學稱之為“對數正態分佈”。

為什麼要加一個“對數”呢？

“正態分佈”中，彈珠最終的位置是每一次選擇相加的結果，比如向左+1，向右-1；但在改進的“高爾頓釘板”中，因為每一次的選擇與前一次的選擇相關，所以不但有加法，還有乘法。

所以，“正態分佈”是算術級的變化，而“對數正態分佈”是指數級的變化，因為對數可以把乘法“變成”加法，所以，“對數正態分佈”也可以對值取自然對數，變成“正態分佈”。

“對數正態分佈”更符合社會現象。

開頭說過，劃片招生的學校，學生成績基本呈“正態分佈”，但經過了三年的學習，到了中考的時候，如果這個班沒有重新分配過，他們的分數線往往會變成“對數正態分佈”。

原因在於，學習不是“加法”而是“乘法”的過程，那些學習成績好的，有更強的動力去學習，學習成績差的學生可能因此喪失學習熱情而止步不前；另一方面，考試中的滿分又限制了超高學習能力的學生的成績，結果大量的同學會擁擠在較高成績段，導致峰值往前移。

有一些大學要求老師對學生公平，評估標準就是學生的考試成績是否偏離正態分佈，比如規定高分和低分段的學生比例，為了滿足這個公平的要求，就會出現文章開頭的打分現象。

有一句話：學霸考100分，是因為試卷只有100分，這個100分的限制到了畢業以後就不存在了。比如你高考多了一分，從非211變成211，你在畢業時的起薪就更高，未來可選擇的高薪職位就更多，加薪速度也更快……

最終的結果，就是薪資結構上的“對數正態分佈”。

“對數正態分佈”的薪資，會產生很多反直覺的現象，比如普通存在的“薪資平均水平”遠遠高於“薪資中位數”的現象：

正是因為城市的收入呈“對數正態分佈”，中位數收入因為低收入人數太多而向低收入偏移，平均收入因為高收入者收入太高，而向高收入偏移。

比打工變化更大的是創業，我在《關於創業的七個“反常識”建議》一文中，介紹了創業企業的資產從“正態分佈”到“對數正態分佈”，甚至“冪態分佈”的過程。

五、總結

正態分佈的形成有兩個必要條件：

1。 這些個體的選擇是隨機的，彼此之間沒有任何影響，比如劃片入學；

2。 影響該結果的多個因素之間是獨立無關的，比如彈珠在釘板的上一次方向與下一次方向無關。

正態分佈與新產品營銷：

1。 新產品的人群接受度呈正態分佈，中間態度的人最多，兩邊的人最少；

2。 從最右邊人群向中間的過程中，到了“人群2”的階段，曲線的斜率加大，銷量加速增長，這也成為新產品的“加速”點；

3。 有“社交訊號”的產品在“人群2”的階段，有可能自動加速進入“人群3”，並不一定需要營銷費用的同步增長。

正態分佈與週期股的投資：

1。 產能與退出成本呈現典型的正態分佈，豬肉剛剛進入下降週期時，降價幅度很大，只能退出少量產能，到了接近大部分養殖戶的退出成本時，只要少量降價，就有大量產能退出，這種“非線性去產能”的特點，導致肉價需要長時間的“磨底”。

2。 規模化養殖時代，產能分佈變成了“對數正態分佈”，峰值從中部向左側偏移，相比以前的週期，肉價將在底部徘徊更長的時間。

對數正態分佈：

1。 “正態分佈”是算術級的變化，而“對數正態分佈”是指數級的變化；

2。 “對數正態分佈”的薪資，會產生很多反直覺的現象，比如“薪資平均水平”遠遠高於“薪資中位數”。

如果把彈珠想象成我們自己，把釘子想象成人生的際遇，向左代表好的結果，向右代表壞的結果，那麼真實的社會一定是那個改良過的“機率加成”的“高爾頓釘板”，每把握好一次機遇，對最後的結果都有“乘法”的影響。

所以這個社會大部分有價值的東西，最終都是“對數正態分佈”甚至“冪態分佈”的。

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