一條線段圍成矩形，一定是正方形面積最大嗎？

大家可能都知道一個小常識，一段固定長度的線段，如果圍成一個封閉的圖形，那麼當圍成圓形時，面積最大。這可以解釋為什麼我們生活當中很多物品都是圓形或圓柱形，比如水杯、桶、盤子、圓桌等。

至於為什麼圍成圓形的面積最大，這裡我們需要用到“等周定理”。

等周定理

，又稱等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的

“

等周

”

指的是周界的長度相等。等周定理說明在

周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大。

關於“等周定理”的證明，在這裡就不說了，感興趣的同學可以自己百度一下。今天我們主要討論的是，當固定長度的線段圍成一個矩形時，何時面積最大？

假設有一段長度為24的線段

圍成矩形

設矩形長為x，寬為y，則2x+2y=24，即y=12-x

面積 S=x·y=x（12-x）=-x^2+12x

根據二次函式性質，當x取對稱軸6時，S有最大值36，此時x=y，也就是說，

當矩形為正方形時

，面積最大。

現在我們把問題改一下，

把一段長度為

24

的繩子靠牆成一個矩形

，那麼圍成的最大面積是多少？

有的同學可能會產生思維定式，以為圍成正方形時面積最大。

即當三遍長度各位8時，面積為64，事實上真的是這樣麼？

在這裡我們用兩種方法求解一下

方法

1

：

利用等周定理，我們用2倍長度的繩子來圍成一個矩形，如果這個矩形的面積最大時，它的一半（所求矩形）面積也最大。

如果繩子擴大2倍，變成了24×2=48

上圖正方形變成變為：48÷4=12

所求矩形面積為：

12×（12÷2）=72

即當長為12，寬為6時面積最大。

方法

2

：

設圍成矩形的長為x，寬為y，則x+2y=24，即x=24-2y

面積S=x·y=（24-2y）y=-2y2+24y

當y取對稱軸6時S有最大值72，此時x=12

即當長為12，寬為6時面積最大。

而對於（24-2y）y求最大值的方法，除了用二次函式之外，我們還可以用基本不等式來解決

即

當24-2y=2y，即y=6，x=12時“=”成立。

很明顯，只用三邊圍成矩形時，面積最大時不再是正方形。

同學們在解題的時候，一定要擺脫思維定式，在沒有特別把握的情況下，不要憑“傳統經驗”做題。