向量組等價的充分必要條件

只需證明：

①兩個向量組的秩相等。（可以用初等變換計算“矩陣”的秩而得）

②有一個向量組，它的每一個向量都可以用另一個向量組的向量線性表示。

向量組A中的每一個向量都可以由向量組B線性表示；向量組B中的每一個向量也可由向量組A線性表示。一般不討論兩個向量的等價，如果按照定義來理解的話，就是兩個向量的元素對應成比例。

一般是先定義矩陣的等價。兩個矩陣等價是指，一個矩陣經過初等變換能夠變成另外一個矩陣（還可以細分為行等價（只用初等行變換）和列等價（只用初等列變換）。

因為向量組可以組成矩陣，反過來矩陣又存在行向量組和列向量組，所以可以利用矩陣的等價來定義向量組的等價（只要把兩個向量組都做成矩陣即可）。

等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣，線性相關性也可以不一樣。任一向量組和它的極大無關組等價。向量組的任意兩個極大無關組等價。兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。

“矩陣等價”是最簡單的關係。——同類型矩陣A與B 等價。即，矩陣A可經初等變換轉化為B等價條件，R（A）=R（B）“向量組等價”是最複雜的關係。——兩向量組等價，即，兩向量組可以相互線性表示。等價條件，兩向量組秩相等，且其中一組向量可以被另一組向量線性表示。複雜在於，一個向量能否被某組向量線性表示，這是一個線性方程組有無解的問題。