第二百三十四夜：離散型隨機變數的期望

貌似我從未寫過關於機率統計的題，天大的缺憾。

新高考中，代數、幾何與機率統計三駕馬車並駕齊驅（大致比例為50%，40%和20%），怎麼可以無視其存在呢？

近幾年的全國1卷中，機率統計一再取代解析幾何成為新的霸主。另外，機率統計與生活息息相關，是數學建模的良好載體，所以未來我再也不會忽視機率統計的地位了。

1 圍觀：一葉障目，抑或胸有成竹

本題綜合考查離散型隨機變數的分佈列和數學期望。

乍一看，題目似乎平淡無奇，然而下筆之後開始暗自神傷。因為本題不單是考查內容，同時考查計算，如何快速高效地計算出結果才是解題的王道。

大致分兩步：

（1）透過分佈列的性質求出引數a的值。這不難，但凡掌握二項式定理的都能完成。

（2）寫出數學期望的表示式，代入a的值計算出結果。計算才是關鍵，我最先想到的是“導數法”；然後類比數列求和想到了“倒序相加法”；最後退而求其次——強算。

2 套路：手足無措，抑或從容不迫

法1，先倒序，再利用組合數的性質轉化，然後相加即可算出結果。

與首末等距離的兩項之和相等（或等於同一個常數），可用“倒序相加法”求和。倒序相加法不是什麼高深的方法，教材中推導等差數列的前n項和用的就是此法。

法2，根據冪函式導數的特點構造二項式，賦值計算出組合數值，代入數學期望公式便可求得結論。

二項式定理是一個恆等式（正向展開，逆向合併），可以透過賦值得到相應係數的關係。值得說明的是，二項式定理還可透過丟掉某些項達到放縮不等式的目的（將來介紹）。

是的，很遺憾，法1與法2都錯過了。誰能想到竟然與導數和數列相關，大意了。

即便如此，也沒關係。好在本題的資料還不算特別大，那就索性強算。

真的不難算麼？

不知道，我是逆向算的，哈哈。

。。。

隨機變數考小題壓軸題在“浙江卷”中屢見不鮮，2020年新高考山東卷的第12題也是如此（見操作），相信未來會層出不窮。

3 腦洞：浮光掠影，抑或醍醐灌頂

隨機變數的取值隨著試驗的結果而定，在試驗之前不能預知它取什麼值，且它的取值具有一定的機率，這便是隨機變數與普通函式的本質差別。

隨機變數分為離散型隨機變數和非離散型隨機變數（連續型隨機變數和其他隨機變數）。若隨機變數X的取值可以一一列出，則X稱為離散型隨機變數。

要掌握一個離散型隨機變數X的統計規律，必須知道X的所有可能取值以及每一個可能值的機率，由此得到離散型隨機變數的分佈列。用表格來描述分佈列直觀而簡潔。

分佈列完全描述了隨機變數取值的機率規律，但為了對隨機變數有一個概括的認識，還需要隨機變數的某些數字特徵。由隨機變數的分佈所確定的，能刻畫隨機變數某一方面特徵的常數稱為數字特徵。

數學期望（均值）和方差是兩類最重要的數字特徵，分別描述隨機變數的平均取值以及隨機變數的偏離程度。

4 操作：形同陌路，抑或一見如故