HLM（分層線性模型）處理“聚集性”問題

HLM模型（hierarchical linear model，分層線性模型）有著多種稀少，可稱作多水平模型，層次線性模型，或者混合效應模型，隨機效應模型等。普通的線性迴歸模型研究X對於Y的影響，而HLM模型也研究X對於Y的影響，但是其考慮了group的聚集性因素（即考慮組內相關不獨立問題）。

比如研究‘入學成績X’對於‘中考成績Y’的影響，個體是學生，學生隸屬於學校group，並且樣本資料來源於幾個學校。那麼不同學校（即group層面）之間的情況時‘入學成績X’對於‘中考成績Y’的影響時很可能不一樣（比如好學校時可能影響幅度更高），如果希望將學校因素考慮進入，此時學校就是一個聚集性因素group，諸如此類研究時即可使用HLM模型。

HLM模型時涉及到兩個重要的專業術語，分別是‘固定效應’和‘隨機效應’，其說明如下表：

固定效應是指做HLM模型時，不涉及group干擾時的影響關係研究；隨機效應可指在group層面時的影響關係情況，更進一步說明例子如下表：

如果完全不考慮group，即不考慮‘聚集性’問題，那麼直接使用線性迴歸即可，並不需要使用HLM模型，HLM模型就是處理‘聚集性’問題的一種進階方法；如果說使用HLM模型，並且在分析時只考慮個體效應不需要考慮group層面的效應，即只有固定效應項並無隨機效應項；如果說使用HLM模型，並且在分析時考慮個體效應的同時還考慮group層面的效應，即包括固定效應項和隨機效應項。

案例：

1， 背景

當前有一項研究，研究樣本為65所學校共計4059名學生，研究內容為學生入學成績對於最終成績的影響情況，由於學生樣本來源於65所不同的學校，而且不同學校層次有著較大區別，因此需要將學校（即group項）的聚集性納入考慮範疇中。研究資料中涉及的欄位如下說明：

2，理論

HLM模型研究是對傳統迴歸模型的進一步精細分析，研究者可深入探討資料的變異是否在高層次（group）中存在著聚集性。一般分析時分為兩個步驟如下說明：

第一步：

首先只考慮固定效應，即不納入隨機效應；然後透過結果中的ICC值判斷【group層面】因變數的變異幅度（ICC值越大意味著【group層面】因變數的變異幅度越大，一般ICC值較小比如小於0。1時，意味著【group層面】因變數的變異力度較低，意味著聚集性較弱，此時可考慮直接放棄HLM模型改用常見的迴歸模型即可）；

第二步：

如果說ICC值較大（比如大於0。1時），此時可進一步探究‘隨機效應’對【group層面】帶來的變異情況，加入group層次水平的研究項，深入探究它們對於【group層面】變異的解釋情況。比如第一步中得到的ICC值為0。2，第二步之後 得到的ICC值為0。1，減少為0。2-0。1=0。1，也即說明新加入‘隨機效應’項會對【group層面】產生0。1（10%）的變異解釋力度。

特別提示：

HLM模型時，研究思路並不完全固定，完全由研究者的研究目的而定；

group的資料格式需要特別注意，比如本案例中某個學校（id=1）有73個個體學生，那麼id=1就要對應重複73次。

3， 操作

本例子中操作上第一步先不放入‘隨機效應’項，即只放入如下圖所示：

在第一次分析之後，發現ICC值為0。144較大，即意味著【group層面】即學校中考成績的變異為14。4%。因此考慮納入‘隨機效應’項，將‘入學成績’項納入模型中，以深入探究‘入學成績’對於【group層面】‘中考成績’的解釋力度（即入學成績會對中考成績有影響，但是在不同學校group間是否有差異性）。

4， SPSSAU輸出結果

SPSSAU共輸出4個表格，分別‘模型基本情況’，‘固定效應引數估計’，‘隨機效應協方差估計結果’，‘隨機效應引數估計的相關矩陣’，分別說明如下：

5，文字分析

本案例共進行了兩次。第一次時不納入‘隨機效應’項，得到結果分別如下：

上表格展示出本次研究的總樣本數量是4059個，而且有65組，即group項有65個不同的數字（即65所學校），其中某學校最少只有2個學生個體樣本，某學校最多有198個學生個體樣本，平均來看每所學校為62。4個學生個體樣本。以及HLM模型使用REML似然法估計，log似然值為-4681。13。

‘固定效應引數估計’表格展示固定效應情況，即‘入學成績’對於‘中考成績’的影響，上表可知：迴歸係數值為0。563>0，並且此路徑呈現出0。01水平的顯著性（z=45。106，p=0。000<0。01），因而說明入學成績會對中考成績產生顯著的正向影響關係，即學生入學成績越高，那麼學生中考成績也會越高。

由於第一次分析結果中並沒有納入‘隨機效應’分析項，因此‘隨機效應協方差估計結果’只會有截距和殘差這兩項，透過此兩項可計算得到ICC值，計算公式為：組內相關係數ICC=截距項方差 / （截距項方差+殘差項方差），即組間方差 /（組間方差 + 組內方差）。上表格顯示ICC為0。144（此值相對較大），意味著【group層面】中考成績的變異為14。40%。

與此同時，截距的迴歸係數值（variance或sd值均可稱迴歸係數值）為0。094且呈現出顯著性，意味著【group層面】之間的中考成績有著明顯的差異性。由於ICC值較大和【group層面】之間有著差異性，因此接下來再進一步納入‘隨機效應項’進行深入考慮，考慮‘隨機效應項’對於【group層面】上的中考成績變異的解釋情況。

接著將‘入學成績’這個學校水平上的資料作為‘隨機效應項’納入模型中，因而第2次分析的操作如下圖：

第2次分析的結果分別如下面4個表格所示：

此表格資訊並沒有變化，不再贅述。

‘固定效應引數估計’表格展示固定效應情況，即‘入學成績’對於‘中考成績’的影響，上表可知：迴歸係數值為0。557>0，並且此路徑呈現出0。01水平的顯著性（z=27。588，p=0。000<0。01），因而說明入學成績會對中考成績產生顯著的正向影響關係，即學生入學成績越高，那麼學生中考成績也會越高。

特別提示：

如果說進行過多次HLM模型分析，一般固定效應的分析只以最後一次結果為準即可。

在納入‘入學成績’這一‘隨機效應’項之後，從上表可以看出：ICC值由第1次分析時的0。144上升到0。145，即增加幅度為0。001，也即說明‘入學成績’可以提高【group層面】即學校層面‘中考成績’的變異幅度為0。1%，此比例相對非常低可以基本可以忽略。

截距項呈現出0。01水平的顯著性（z=3。625，p=0。000<0。01），即意味著不同【group層面】即學校層面之間的中考成績有著差異性。與此同時從上表格看到：‘入學成績’這一‘隨機效應’項呈現出顯著性（z=2。356，p=0。018<0。05），即意味著‘入學成績’對於中考成績的影響時，不同【group層面】即學校層面時有著差異性。

即最終得到結論：【group層面】即學校層面之間的中考成績確實有著差異性（z=2。356，p=0。018<0。05），而且‘入學成績’對於‘中考成績’的影響時（z=2。356，p=0。018<0。05），會有著【group層面】即學校之間的差異性。

特別提示：

如果希望研究某隨機效應項的加入，帶來【group層面】（本案例為學校）中考成績的解釋力度變化，那麼可使用計算公式為：

（Coef_intercept1 – Coef_intercept2）/ Coef_intercept1

【Coef_intercept表示第n次‘隨機效應協方差估計結果’表格中‘截距’項的迴歸係數】，本案例中第1次分析得到的值為0。094，第2次為0。092，即為（0。094-0。092）/0。094=2。12%，即‘入學成績’可以解釋【group層面】即學校層級的平均成績差異2。12%的原因。

‘隨機效應引數估計的相關矩陣’表格展示隨機效應項間的相關關係情況，比如上表格中0。425指隨機效應截距項與‘入學成績’間的相關情況，可理解為【group層面】學校間成績差異與‘入學成績’間的相關關係情況。該值較大，因此並不需要設定‘隨機效應協方差為0’，如果該值較小比如小於0。2，可考慮設定模型中‘隨機效應協方差為0’打勾即假定沒有協方差關係。

6，剖析

涉及以下幾個關鍵點，分別如下：

HLM模型分析思路如何？

HLM分析思路上並沒有固定標準，通常是第1步不納入‘隨機效應項’，結合ICC值和隨機效應表格中的截距項顯著性，判斷【group層面】的變異是否存在，如果存在則納入‘隨機效應項’後深入挖掘‘隨機效應項’帶來【group層面】的變異情況等；

7，疑難解惑

① HLM模型的資料格式是什麼樣的？

HLM模型的資料格式可點選檢視

② HLM模型中ICC值的意義是？

HLM模型時，ICC的計算公式為：組內相關係數ICC=截距項方差 / （截距項方差+殘差項方差），即組間方差 /（組間方差 + 組內方差），該指標值代表著【group層面】差異幅度。

③ 涉及幾個名詞的意義說明？

在HLM效應分析時，涉及到專業名詞包括固定效應，隨機效應等，說明如下表格：

④ 標準誤計算說明：z或t檢驗？

HLM模型時標準誤的計算時，不同軟體的計算方式並不同，並且可能使用t檢驗或者z檢驗，SPSSAU當前使用z檢驗。