怎麼求高次方程的近似解？牛頓切線法求三次方程近似解的例項分析

牛頓切線法求高次方程的近似解，是“老黃學高數”系列影片第211講分享的內容。

方程求解的方法主要分為兩種，一種叫解析法，我們一般所採用的解方程法，都屬於這種方法，它是嚴謹的，有求解公式的，得到的是準確的根。另一種稱為數值法，它得到的並不是一個準確的根，而是根的近似數。

法國數學家伽羅瓦證明了，五次以上包括五次方程並不存在普遍的求根公式。只有一些特殊的方程可以得到它的根式解。因此，對那些無法得到求根公式的方程，偉大的科學家牛頓就提出了一種數值解法，稱為切線法，或牛頓切線法。

關於牛頓切線法求近似根的原理，老黃學高數第211講有詳細介紹，不過一般人都不會去管它的原理，因為看了也有可能理解不了；理解了也基本是記不住的，就像老黃一樣；或者記住了其實對絕大多數人來說也沒有什麼“卵”用。所以老黃這裡就跳過原理，直接講應用了。話說回來，老黃當然是鼓勵你去了解原理的。

例：用牛頓切線法求方程x^3-2x^2-4x-7=0的近似解，使誤差不超過0.01.

（1）瞭解方程根的基本情況。

解：記f(x)=x^3-2x^2-4x-7，

則f’(x)=3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)；f”(x)=6x-4.

f’(-2/3)=f’(2)=0,

【得到函式的兩個穩定點】

f”(-2/3)=-8<0, f”(2)=8>0, f有極大值f(-2/3)<0, 極小值f(2)<0,

【說明函式在這個區間沒有零點】

又lim(n->-∞)f(x)=-∞, lim(n->+∞)f(x)=+∞,

【說明函式在（2，+∞）上有一個零點】

∴f(x)=0只有一個根ξ.

（2）找到函式包含零點在內的一個單調且具有凸性的區間，這個區間一般取為單位區間。理論上，這個區間越小越好，但同時還要考慮運算是否簡便。

又f(3)=-10<0, f(4)=9>0;

∴方程的根ξ∈(3,4).

（3）應用牛頓切線法找第一個點：

當x∈[3,4]時，f’(x)>0，f”(x)>0.

【這是牛頓切線法的一種情形，這種情形下，要從右端點x=4開始取點】

從點B(4,9)作切線與x軸相交於x1=4-f(x)/f'(4)≈3.68.

【這個公式是牛頓切線法中，點集的通項關係式。整個牛頓切線法原理，幾乎都是在求這個公式的】

（4）檢驗x1的誤差。

取m=min(x∈[3,4]){|f'(x)|}=11，

【其實就是求導數f‘（x）=3x^2-4x-4在［3，4］上的最小值】

f(x1)=f(3.68)≈1.03, 則|x1-ξ|≤|f(x1)/m=1.03/11>0.01, 不符合要求.

【這是求絕對誤差的公式，是牛頓切線法另一個重要的部分。總的來說，牛頓切線法就兩個部分，一是逐一

找點集

{xn}中的點；二是逐一檢驗點的絕對誤差。】

（5）應用牛頓切線法找第二個點：

再取B’(x1,f(x1))作切線得：x2=x1-f(x1)/f'(x1)≈3.68-1.03/21.9≈3.63.

（6）檢驗x2的誤差：

f(x2)≈-0.042，則|x2-ξ|≤|f(x2)|/m=0.042/11<0.01, 【

這就滿足精確度的要求了。如果不滿足，就要繼續找點x3，繼續檢驗，一直到滿足條件為止】

∴取ξ≈3.63誤差不超過0.01.

最後來看看這個函式的影象。

這樣的影象畫起來是有夠煩人的。對照前面的解法，你能夠對牛頓切線法求方程的近似解，有一定的理解呢？如果理解不了，那可能就要去好好學一學牛頓切線法的原理了。