吳國平：你會幾種三角形內角和證明方法？

對於數學學習，我們強調最多的就是希望大家要好好理解和掌握數學思想方法，同時，這部分內容也是相對比較難以學習和理解。一些人從幼兒園一直到大學畢業，可能最終連什麼是數學思想方法都說不出一些感受。

數學思想方法可以說是數學的靈魂和精髓，它無論在數學專業領域、數學教育範圍內，還是在其它科學中，都被廣為得到運用。如我們最常見的數學思想方法就就是數形結合思想，根據數與形之間的對應關係，透過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化。

在數學學習中，透過解題，我們無形中會運用到很多數學思想方法去解決問題，只是你無法透過感覺器官來感受到而已。學會運用數學思想方法，我們可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質，這樣很多問題便迎刃而解，且解法容易理解和消化。

今天我們透過多種方法來證明三角形內角和定理，使大家在一題多解中感受到數學思想方法的運用。

三角形內角和定理是我們最熟悉、最常用的數學基本定理之一，它是三角形的一個基本性質，也是其它定理的重要依據之一，可以說是整個幾何王國的最重要的基礎知識內容之一。三角形內角和定理具體內容：三角形的三個內角和等於180°。

初中數學教材安排三角形內角和定理的學習，不僅要求學生掌握好定理，更重要學會如何證明三角形內角和定理。透過證明方法的研究，使我們的學生的思維能力得到訓練；透過圖形的“拼湊”，培養動手能力；透過多種證明方法的學習，使學生能感受到數學思想方法的運用；透過多種證明方法的學習，讓學生從不同角度去分析問題和解決問題。

三角形內角和定理證明方法一：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：過點C作CD∥BA，則∠1＝∠A

∵CD∥BA

∴∠1+∠ACB+∠B＝180°

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

三角形內角和定理證明方法二：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：作BC的延長線CD，過點C作CE∥BA，

則∠1=∠A，∠2=∠B

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°

三角形內角和定理證明方法三：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：過點C作DE∥AB，則∠1＝∠B，∠2＝∠A

又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

三角形內角和定理證明方法四：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：作BC的延長線CD，在△ABC的外部以CA為一邊，

CE為另一邊畫∠1＝∠A，於是CE∥BA，

∴∠B＝∠2

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°

三角形內角和定理證明方法五：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：在BC上任取一點D，作DE∥BA交AC於E，

DF∥CA交AB於F，

則有∠2＝∠B，∠3＝∠C，∠1＝∠4，∠4＝∠A

∴∠1＝∠A

又∵∠1+∠2+∠3＝180°

∴∠A+∠B+∠C＝180°

三角形內角和定理證明方法六：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：（1）選點O在△ABC內，則如圖所示，

過點O分別作DE//AB，FG//BC，PQ//AC，即得：

∠POE=∠GPO=∠A，

∠POG=∠EFO=∠C，

∠EOF=∠PGO=∠B，

∵∠POE+∠POG +∠EOF=1800，

∴∠A +∠C +∠B=1800．

三角形內角和定理證明方法七：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：若選點O在△ABC上且不為頂點，則如圖所示，

過點O分作OQ//AC， OF//BC ， 即得：

∠A=∠BOQ，∠C =∠OQB=∠QOF，∠B=∠AOF ，

∵∠BOQ+∠QOF+∠AOF=1800，

∴∠A +∠C +∠B=1800。

三角形內角和定理證明方法八：

已知：△ABC的三個內角是∠A，∠B，∠C。求證：∠A+∠B+∠C=1800．

證明：若選點O在△ABC外，不在△ABC邊的延長線上，則如圖所示，

過點O作PQ//AC， 交BA、BC的延長線分別於P、Q，

再過點O作 EO//BC， DO//AB ，即得：

∠EOP=∠Q=∠C， ∠EOD=∠ODC=∠B，

∠DOQ=∠APO=∠BAC，

∵∠DOQ+∠EOD+∠EOP =1800，

∴∠ACB+∠B+∠BAC=1800。

從上面這八種三角形內角和定理證明方法當中，我們發現要想證明三角形的三個內角之和等於180°，就需要把問題轉化到平角的大小為180°。因此，在解決問題的過程中，我們就想方設法將三角形的三個內角“轉化成”一個平角，如利用新增輔助線的方法構造出一個平角，再運用一定技巧“移動”內角，將其構造成一個平角，這就是數學當中化歸轉化思想方法的運用。

透過三角形內角和定理的證明，我們可以很清楚感受到數形結合、化歸轉化等數學思想方法的運用。只要大家認真專研解題方法，多總結反思，慢慢就學會數學思想方法的運用。如在平時數學學習過程中，學會從不同角度去分析解決問題，我們的思維能力就會得到鍛鍊，不僅掌握好了基礎知識內容，更學會運用方法和技巧去解決實際問題，最終掌握數學思想方法，提高數學素養。

因此，基於數學思想方法的重要性，因此《數學課程標準》將數學思想方法列為數學目標之一。