林開亮：推薦孟道驥教授《< 數學之美 > 淺讀》

編者按：

2004年12月3日，陳省身先生在天津醫科大學總醫院逝世，享年93歲，今天正好是陳先生逝世17週年。陳先生生前（2003年）精心編輯了2004年《數學之美》掛曆，原本打算邀請一些人撰寫一本詳細介紹這些內容的科普讀物，可惜未能如願。之前我們還在公眾號分享過，見>>

數學之美掛曆欣賞 | 數學大師陳省身親自構思、設計

。近期高等教育出版社出版了一本新書

《< 數學之美 > 淺讀》

，是南開大學數學學院孟道驥教授對掛曆的解讀，今天我們分享林開亮老師對該書的介紹文章，以表達對陳省身先生的紀念。

作者 | 林開亮（西北農林科技大學）

今年10月，高等教育出版社出版了一本新書，《< 數學之美 > 淺讀》（下稱《淺讀》），作者是南開大學數學學院的孟道驥教授。在這本書出版之前，我就從南開大學陳省身數學研究所白承銘教授那裡得知，孟老師正在寫這麼一本書。我一直期待它的問世。因此，該書出版後，我第一時間從網上下單，想先睹為快。

之所以這麼期盼，有兩方面的原因。第一，這個主題是從陳省身先生2003年創作的《數學之美》掛曆延伸出的，非常吸引人；第二，當我還是天津大學的一名本科生時，從孟道驥老師編寫的《高等代數與解析幾何》中受益良多，我很期待他對“數學之美”掛曆的解讀。

陳省身先生創作的《數學之美》掛曆有十二個主題，

如下：

一月：複數

二月：正多面體

三月：劉徽與祖沖之

四月：圓周率的計算

五月：高斯

六月：圓錐曲線

七月：雙螺旋線

八月：國際數學家大會

九月：計算機的發展

十月：分形

十一月：麥克斯韋方程

十二月：中國剩餘定理

在《淺讀》中，孟道驥教授對這十二個主題依次展開，深入淺出地分享了他對各個主題的理解。以下我們逐一介紹。

陳省身先生對複數 （complex numbers） 情有獨鍾。因此，掛曆的開篇就是複數。之所以如此，也許與他個人的經歷密不可分。他曾在美國數學會的 Notices 訪談中提到：“My main idea is that you should do topology or global geometry in the complex case。

The complex case has more structure and is in many ways simpler than the real case。 So I introduced the complex Chern classes。”

圖片左下方的數學家是 Gauss（1777–1855），他本人非常也重視複數。

Gauss 影象旁邊的公式是 Euler 公式，被譽為最美的數學公式。

英國數學家 Atiyah 在《數學是發明還是發現》說道：

如果有人問： 在數學中，哪一個公式最美麗？ 我想所有數學家都會同意，就是尤拉公式。這是在數學最奇妙的公式，因為在單一條公式中，包括三個最重要的數字：−1 的平方根 i、π 和 e。這條令人驚歎的公式，包含了最基礎的意義。正因如此，它是如此的美妙。同時，我亦視這公式為數學界裡，可與文學界最著名的句子媲美——莎士比亞四大悲劇之一的《哈姆

雷特》裡“To be，or not to be”。句子簡短，但是這十分簡單的句子卻蘊含一個深厚的意義。所以，數學家其實同樣有美的觸覺。數學和藝術相同，兩者依賴於同樣的理念，就是既簡單又深刻。

在陳省身先生的描述文字中，有一句“高斯在證明代數基本定理和研究雙二次剩餘理論中應用並論述了複數”，“雙二次剩餘”（雙二次 = 四次） 在《淺談》中被誤寫為“二次剩餘”。關於這一歷史，我們推薦兩篇文章：

三維空間有五種正多面體，這是古希臘數學的一個傑出成就。據說，這是 Theaetetus （417-369 BC） 首先證明的。Euclid 在《幾何原本》十三卷的最後一個命題，就是三維空間恰好有五種正多面體。

至於更高維數的空間，瑞士數學家 Schläfli（1814– 1895） 在 1852 年證明了，四維空間有六種正多面體（注意掛曆中的說法並不正確）；五維以上空間有三種正多面體。在其發表近 30 年後，美國數學家 Stringham 重新發現了這一結果，而且在 1881–1990 年間，先後有其他八位數學家重新得到這一結果。

孟老師在《淺談》中介紹了 Theaetetus 定理的兩個證明，一個是利用多面體的 Euler 公式

V − E + F = 2，

一個是利用群作用。

《淺談》中還提到，存在非凸的正多面體。實際上，一共有四種，這是 Cauchy 所證明的，它們被稱為 Kepler–Poinsot 多面體。

三月的主題是劉徽和祖沖之，他們兩位對圓周率的計算有接觸貢獻。π ≈ 3。14，是劉徽的貢獻。值得注意的是，從2020年開始，數學人有了自己的節日：

每年的 3 月 14 日是“國際數學節”。

劉徽為《九章算術》做注，提出許多獨到的見解。

祖沖之將 π 精確到小數點後 7 位，並且與兒子祖