幾個與三角形內切圓相關的結論的應用

結論1：如圖1，⊙O是∆ABC的內切圓，連線BO，CO，則∠BOC=

∠A

圖1

略證：

∵∠BOC+∠1+∠2=

∠A+2∠1+2∠2=

∴ ∠1+∠2=

∠A

∴ ∠BOC=

∠A

例、如圖2，∆ABC中，AB＝AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高， O為∆ACD的內切圓圓心，則∠AOB的度數是（）

A．120° B．125°

C．

135° D．150°

圖2

分析：

∵ O為∆ACD的內切圓圓心

∴ AO平分∠BAC

∠AOC=

∵ AB=AC

∴ ∆ABC關於AO對稱

∴ ∠AOB=∠AOC=

故 選擇C

結論2：如圖3，⊙O是∆ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，連線DE、DF、OE、OF，則∠EDF=

圖3

略證： ∵ E、F是切點

∴ OE⊥AC，OF⊥AB

∴ ∠OEA=∠OFA=

∴ ∠EOF+∠A=

即 ∠EOF=

∠A

∠EDF=

例、如圖4，⊙O是∆ABC的內切圓，D、E、F為三個切點，若∠DEF=52°，則∠A的度數為（）

A．

76° B．68° C．52° D．38°

圖4

分析：由∠EDF=

得∠A=

，所以選擇（A）

結論3：如圖5，⊙O是∆ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，BC=a，AC=b，AB=c，且設s=

，則 AE=AF=s-a，BD=BF=s-b，CD=CE=s-c。

圖5

略證：設AE=AF=x、BD=BF=y、CD=CE=z， 則 x+y=c，y+z=a，z+x=b， 聯解這3個方程可得結論3

例、如圖6，⊙O為∆ABC的內切圓，分別切BC、AC於點D、E，AC=9，AB=8，BC=10，點M、N分別為BC、AC上的點，且MN為⊙O的切線，切點為G，則∆CMN的周長為

▲

圖6

分析：∵ BC、AC、MN都是⊙O的切線

∴ CD=CE MD=MG NE=NG

∴ CM+MN+CN=2CD=2CE

由結論3得

CD=CE=

（9+8+10）-8=5。5

∴ ∆CMN的周長為11

結論4：如圖7，⊙O是∆ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，BC=a，AC=b，AB=c，⊙O的半徑為r，則

圖7

略證：可由∆ABC的面積等於∆OBC、∆OAB、∆OAC的面積和證得

例、如圖8，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，點0為△ABC的內心，點M為斜邊AB的中點，則OM的長為

▲

圖8

分析：

過O作ON⊥AB，垂足為N

則 ON是內切圓的半徑，N為切點

∵

=

∴ OM=10

由結論4可求得 ON=4

又由結論3可求得 AN=8

∴ MN=AM-AN=10-8=2

∴OM=

結論5：如圖9，Rt△ABC的內切圓⊙O與BC、AC分別相切於點D、E，AB=c，BC=a，AC=b，則

（1）四邊形OECF是正方形；

（2）

（3）

圖9

略證：（1）可由切線的性質證得，（2）由結論4可推得，（3）由結論3可推得

例、如圖10，在平面直角座標系中有一正方形AOBC，反比例函式

經過正方形AOBC對角線的交點M，半徑為

的⊙N內切於△ABC，則k的值為

▲

圖10

分析：設正方形的邊長為a，

則AC=BC=a，AB=

a

則

∴ a=4

∴ 點C的座標為（4，4）

∴ 點M的座標為（2，2）

∴ k=4

小結：與三角形內切圓相關的結論比較多，熟練應用這些結論可以很方便地解答相關的選擇題和填空題，從而為平時的學習和考試贏得時間。