高中數學，函式零點個數問題，知固定模板，避免誤區，又一必殺技

原題

原題：已知函式f（x）=（x－1）e^x－e^a·x^2，a<0。

⑴求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

⑵求函式f（x）的極小值；

⑶求函式f（x）的零點個數。

圖一

該題是一個求函式f（x）零點個數的題，求函式零點的題一般都會融會到壓軸題中出現，要想在數學上打高分，該知識點是要會的。

但是一般在求解函式零點的個數時，很多同學習慣了用因式分解的方式去求解，將思想還停留在初中數學上面，更希望透過因式分解得出該函式零點的個數，

其實這就是一個誤區。

例如該題的第三問，求函式f（x）零點的個數，很多同學就會立馬列出f（x）=0，所以有方程（x－1）e^x－e^a·x^2=0，然後解方程。

那這個方程怎麼呢？

估計沒人會，那該怎麼得出該方程零點的個數呢？

這裡給大家一個固定模板，遇到求零點個數問題就使用該模板即可。

下面就在講解該題的過程中詳細的說明。

第一問

第一問是求函式f（x）在點（0，f（0））處的切線方程。

這是比較簡單的，只需要根據該函式在x=0處的導數，得出該點處的切線斜率，然後求出在x=0點處的縱座標，即得出該切線要過的點，根據點斜式就可以得出該函式在點（0，f（0））處的切線方程。

函式f（x）的一次導數為f＇（x）=e^x（x－1）+e^x－xe^a=x（e^x－e^a）。

設函式f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為k，則k=f＇（0）=0；

當x=0時，f（0）=－1，所以該點座標為（0，－1）。

所以該函式f（x）在x=0處的切線方程為y=－1。

第二問，第三問

這裡將第二問和第三問合起來，是因為第二問本來就是第三問的步驟，即固定模板的一部分。

對於高中數學中求函式零點個數題時，都是需要藉助函式的單調性和函式的極值來判斷該函式零點的個數——

說白了就是根據函式大致影象和x軸的位置關係來判斷

。

具體步驟：

第一步，求出該函式f(x)的單調性。

由第一問得知函式f（x）的一次導數為f＇（x）=x（e^x－e^a）。

令 f＇（x）=x（e^x－e^a）=0，則x=0或者x=a，a<0。

當x0，此時函式f（x）是單調遞增函式；

當a0，此時x<0，所以一次導數 f＇（x）<0，此時函式f（x）是單調遞減函式；

當x>0時，（e^x－e^a）>0，此時x>0，所以一次導數 f＇（x）>0，此時函式f（x）是單調遞增函式。

圖二

綜上所述，函式f（x）是在區間（－∞，a）是遞增，在區間（a，0）是遞減，在區間（0，+∞）是遞增。

第二步，求出函式f(x)的極值。

由第一步得知，函式f（x）是先增後減再增的函式，所以當x=a時，函式f（x）取極大值，即f（a）=e^a（a－1）－e^a·a^2/2=－e^a/2（a^2－2a+2）=－e^a/2［（a－1）^2+1］。

因為e^a是恆大於0的，［（a－1）^2+1］是恆大於1的，所以函式f（x）的極大值為f（a）<0。

當x=0時，函式f（x）取極小值，即f（0）=－1。

綜上所述，函式f（x）的極大值也是小於0的，所以此時函式f（x）可能與軸有一個交點。

第三步，代入特值，得出函式f(x)在(0,+∞)上是否存在大於0的數。

令 x=2時，函式f（2）=e^2（2－1）－e^a·4/2=e^2－2e^a>e^2－2>0。

所以當x=2時，函式f（x）是大於零的。

結合圖形，如圖三形所示：

圖三

函式極大值小於0，且根據函式的單調性只存在一個極大值，所以此時函式與x軸的交點只能是當x>0時的一個交點，此時發現當x=2時，函式f（x）是大於0的，所以此時函式f（x）與x軸有一個交點，即函式f（x）只有一個零點。

注意：這裡必須試值得出存在f(x)大於0的部分，雖然函式在x>0上是增函式，但這不代表當x趨近正無窮時，函式f(x)就是趨近正無窮的，它還可能是趨近0負的。

這裡之所以使用試值的方法，是因為當x趨近正無窮的時候，是不好判斷出該函式的趨向，所以選擇試值——只需要一個值時大於0即可，是比較好得出結果的。如果好判斷該函式的極限，可直接判斷該函式的極限。

相反如果函式極小值都是大於0的，就要判斷當x趨近負無窮時的極限或者試值的方式得出函式小於0的部分，因為同樣當x趨近負無窮的時候，對應的函式值不一定就趨近負無窮，還可能趨近0正。

總結

高中求函式零點中的函式多數是不同形式的函式的結合：可能指數函式和x的一兩次方的形式結合，也可能對數函式和x的一兩次方的形式結合。

所以這樣的形式一般都不能透過因式分解的形式獲得函式的零點的個數。此時要想獲得函式零點的個數就需要根據函式的性質，即新方法去獲得。

那怎麼得出這樣函式零點的值呢？即之前講過的用二分法求方程的近似解的方法。詳細可見

解析二分法求方程f（x）=0在區間「a，b」內近似值的解題步驟

詳細講解方程零點在綜合題中的運用

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