高中數學《11.1.4 稜錐與稜臺》微課精講+知識點+教案課件+習題

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知識點：

稜錐：一般的有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐；這個多邊形面叫做稜錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做稜錐的側面；各側面的公共頂點叫做稜錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做稜錐的側稜。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的稜柱分別叫做三稜錐、四稜錐、五稜錐……

正稜錐：如果有一個稜錐的底面是正多邊形，並且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。

注：稜錐的性質：

①平行於底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；

②正稜錐各側稜相等，各側面是全等的等腰三角形；

③正稜錐中六個元素，即側稜、高、斜高、側稜在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形。

圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直於軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面。

圓錐的性質：

①平行於底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；

②軸截面是等腰三角形；

稜錐與圓錐統稱為錐體。

稜臺：用一個平行於底面的平面去截稜錐，底面和截面之間的部分叫做稜臺；原稜錐的底面和截面分別叫做稜臺的下底面和上底面；稜臺也有側面、側稜、頂點。

正稜臺的性質：

①各側稜相等，各側面都是全等的等腰梯形；

②正稜臺的兩個底面以及平行於底面的截面是正多邊形；

③稜臺經常補成稜錐研究。

圓臺：用一個平行於底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸。

圓臺的性質：

①圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；

②圓臺的軸截面是等腰梯形；

③圓臺經常補成圓錐來研究。

圓臺和稜臺統稱為臺體。

影片教學：

36：21

練習：

一、選擇題

1．下列四個幾何體為稜臺的是（）

2．如圖，三稜錐S ABC中，與稜AB所在的直線異面的稜是（）

A．SAB．SB

C．SC D．AC

3．如圖所示，在三稜臺A′B′C′ ABC中，截去三稜錐A′ ABC，則剩餘部分是（）

A．三稜錐 B．四稜錐

C．三稜柱 D．組合體

4．在正方體ABCD A1B1C1D1中，三稜錐D1 AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）

A．1：1 B．1：2

C．1：3D．1：2

5．（易錯題）如圖，在四稜臺ABCD A1B1C1D1中，側稜AA1與平面DCC1D1的位置關係是（）

A．平行 B．相交

C．垂直 D．在平面DCC1D1內

6．（探究題）已知正三稜臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為15）3，則正三稜臺的側面積S1與底面面積之和S2的大小關係為（）

A．S1＞S2B．S1＜S2

C．S1＝S2D．以上都不是

二、填空題

7．正四稜臺的上、下底面邊長分別是5和7，側稜長為9，則稜臺的斜高等於________．

8．一個六稜錐的高為1，其底面是邊長為2的正六邊形，側稜長都相等，則該六稜錐的側面積為________．

9．（探究題）從正方體ABCD A1B1C1D1的8個頂點中任意取4個不同的頂點，這4個頂點可能是：

（1）矩形的4個頂點；（2）每個面都是等邊三角形的四面體的4個頂點；（3）每個面都是直角三角形的四面體的4個頂點；（4）有三個面是等腰直角三角形，有一個面是等邊三角形的四面體的4個頂點．

其中正確結論的個數為________．

課件：

教案：

教學目標

1．使學生感受現實世界中存在著大量的空間圖形，瞭解立體幾何初步的研究物件、內容和方法，經歷稜柱、稜錐和稜臺概念的生成過程；

2．結合動畫、模型、動態的或靜態的直觀圖，讓學生了解、認識稜柱、稜錐和稜臺等空間幾何體的特徵，培養數學抽象和直觀想象的能力；

3．滲透運動、變化和聯絡的觀點，提煉類比、轉化等數學思想方法，幫助學生形成對研究空間圖形的初步認識，為後續學習奠定基礎．

重點難點

本節課的重點是體會立體幾何的研究方法，學會用運動和辯證的觀點認識稜柱、稜錐、稜臺的生成過程及其聯絡與區別；難點是空間概念的建立．

學情分析

本節課授課物件是無錫市一中的成志班學生，他們基礎紮實、思維活躍、求知慾強，對稜柱、稜錐和稜臺這些簡單幾何體已經有了一些初步的認識和了解，這些認識和了解一方面源於生活的感性經驗，另一方面源於小學和初中對它們的初步學習，加之對初中平面幾何中研究平面圖形的方法掌握得較好，使得本節課的學習有了一定的基礎和鋪墊．

教學策略

本節課採用問題導引、自主探究和合作交流的教學方式，在培養學生主動觀察、主動思考、動手操作、自我發現等學習能力上下功夫，充分利用多媒體輔助教學的手段，藉助實物模型、多媒體課件、幾何畫板軟體等呈現和展示立體圖形，來提高教學效果．

教學過程

一、創設情境，引領探究

1、提出探究問題，引領探究活動

探究1到一個定點距離等於定長的點的軌跡是什麼？

探究2給你3根長度相等的木棒，你能構成什麼圖形？

追問用６根長度相等的木棍，最多能拼出幾個全等的正三角形？

設計意圖設計上述兩個探究活動，讓學生動手操作、動腦思考，動口交流，為學生營造探究學習的氛圍，既激發了學生的學習興趣，又讓學生感受到將研究問題的領域從平面拓廣到空間的必要性．透過探索、交流和老師的總結，將學生的思維活動由平面引導到空間，有助於學生空間概念的形成．

2、欣賞空間圖形，走進立體幾何

（1）神舟“五號”發射成功

（2）中國北斗衛星系統

（3）遨遊太空

（4）水立方

（5）盧浮宮

（6）中國館

（7）碳60分子結構

（8）氨基酸分子結構

（9）無錫大劇院

（10）一中教學樓

設計意圖透過大量的現實世界中的空間圖形的展示，讓學生在欣賞空間圖形數學美的同時，從生活體驗中感知空間圖形的大量存在，體會用數學的眼光觀察現實世界，產生直觀想象，形成數學抽象，將學生帶進立體幾何的學習之中．

3、類比平面幾何，感悟立體幾何

探究3觀察下面的實物圖片，它們可以抽象出怎樣的幾何圖形？

（投影展開一組簡單幾何體的圖形）

探究4 立體幾何研究的物件和內容是什麼？

（學生思考討論後展示章引言）

設計意圖學生對於幾何問題並不陌生，平面幾何的學習已經讓他們對幾何有了研究的體驗，這裡透過引導學生透過類比平面幾何中的矩形，三角形，梯形，觀察柱、錐、臺等空間幾何體模型，讓學生了解立體幾何研究的物件，感受數學的直觀美．接著，依然是類比平面幾何，結合章引言，引導著學生去發現立體幾何將要研究的內容，使學生對立體幾何的研究物件和研究內容產生初步的認識，為後續學習奠定基礎．

二、合作交流，建構概念

1、稜柱的研究

問題1下面的幾何體是怎麼形成的？

出示一組稜柱模型（投影展示），輔以動畫演示，引導學生觀察這些模型是怎麼生成的，思考什麼是稜柱？怎麼分類？如何表示？有什麼共同特徵？再由師生總結得出：

（1）稜柱的概念

（2）稜柱的分類

（3）稜柱的表示

（4）稜柱的性質

設計意圖讓學生在經歷稜柱形成的過程中，瞭解稜柱的概念，明確稜柱的分類，掌握稜柱的表示，理解稜柱的性質，體會研究空間圖形的方法，感受用數學的思維分析和研究現實世界中的問題，為進一步地學習稜錐和稜臺作出鋪墊、打好基礎．

2、稜錐、稜臺的研究

問題2類比稜柱的研究，你能說出稜錐是怎麼形成的嗎？稜臺呢？

演示稜柱、稜臺的形成過程，引導學生觀察稜錐和稜臺是怎樣生成的，思考如何給出稜錐和稜臺的定義．

（1）稜錐的定義

（2）稜臺的定義

設計意圖幫助學生認識稜錐、稜臺的特點，瞭解稜錐、稜臺的形成過程，建構起對稜錐和稜臺的初步認識，進一步體會類比方法在研究空間圖形中的應用，可以由平面類比到空間，由稜柱類比到稜錐和稜臺．

探究5仿照稜柱的研究，分小組討論，歸納稜錐、稜臺的分類、表示和性質．

（1）分組討論

（2）學生填寫活動單

（3）彙報交流

（4）教師總結

設計意圖透過探究活動的開展，在學生建構起稜錐、稜臺的概念、加深對稜錐、稜臺的認識和了解的同時，讓學生學會自主探究和合作交流，培養學生的探究意識、合作精神和交流能力．

三、辨析概念，深化理解

思考1如圖，過BC的截面截去長方體的一角，所得的幾何體是不是稜柱？為什麼？

思考2有兩個面互相平行，其餘各面都是平行四邊形的幾何體是稜柱嗎？

思考3有一個面是多邊形其餘各面是三角形，這個多面體是稜錐嗎？

思考4 下列幾何體是不是稜臺，為什麼？

設計意圖透過上述問題的辨析，使學生進一步認識稜柱、稜錐和稜臺，深化對稜柱、稜錐和稜臺的概念和性質的理解，明確判斷的依據主要是定義和性質，要肯定一個結論，必須有充分的理由，否定一個結論，只要舉出一個反例就可以了，體會定義的價值，學會用定義進行判斷和證明的方法，提高理性思考和邏輯思維能力．

四、總結反思，昇華認知

學習感悟請你談一談，這節課有哪些收穫？

學生交流，教師總結．

思考1 稜柱、稜錐和稜臺都是多面體，當底面發生變化時，它們能否互相轉化？

思考2 在長方體

中，若

．

（1）求

的長度；

（2）有一隻螞蟻要從

點到BC的中點M去吃食物．

如果螞蟻爬行的是最短路線，應該怎樣走？

設計意圖透過總結反思，回顧本節課的學習過程，

使所學知識系統化，結構化，進一步深化對稜柱、稜錐和

稜臺的概念、分類、表示和性質的認識和理解，進一步體

會研究空間圖形有兩種思想方法：類比和轉化的思想方法，培養學生歸納、總結和反思的習慣，提高抽象概括的能力．

五、佈置作業，拓展延伸

1、完成教材P8練習1，2，3，4

2、如圖，

是一個正方形，

分別是

的中點，沿摺痕

折起得到一個空間幾何體，問這個幾何體是什麼幾何體？

設計意圖透過作業的佈置，將探究學習的活動延伸至

課外，使學生在課下對立體幾何的特點再做感悟與體會，鞏

固對稜柱、稜錐和稜臺的認識和理解，提高應用研究所學知

識分析問題和解決問題的能力．

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