短短8頁紙，至今仍在給數學家啟發和挑戰，黎曼究竟寫了什麼？

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導讀

質數分佈的全部資訊都包含在黎曼ζ函式非平凡零點的位置當中。得救之道，就在其中！

本文為黎曼猜想系列之四，

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本影片釋出於2021年12月7日，觀看量已超4萬

精彩呈現：

在前三期節目中，我們介紹了黎曼猜想的背景，即質數分佈問題，以及研究質數分佈的基本工具，即尤拉乘積公式。我們還說到，黎曼透過解析延拓，把尤拉ζ函式升級成了黎曼ζ函式。順便說一句，令許多人驚愕萬分的所謂“全體自然數的和等於-1/12”，其實不是字面上的意思，而是說黎曼ζ函式在自變數為-1時的取值等於-1/12。那麼，黎曼具體做了些什麼呢？

黎曼是一位德國數學家，生於1826年，可惜天不與壽，只享年40歲，去世於1866年。黎曼從小就顯示出了超群的數學天才，得到過數學王子高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）的讚賞，這是極其少見的。在黎曼去世五十多年後，愛因斯坦在發展廣義相對論的過程中，又受到了黎曼極大的啟發，可見黎曼的洞察力多麼超越時空！

黎曼

1859年，黎曼33歲時被選為柏林科學院（Berlin Academy）的通訊院士（corresponding member）。為了答謝這個榮譽，黎曼向柏林科學院提交了一篇論文，標題叫做《論小於給定數值的質數個數》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，英文翻譯為On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）。此文的篇幅雖然只有短短的8頁紙，內容卻非常豐富，語言極其精煉，直到現在都在不斷給數學家們提供啟發和挑戰，堪稱整個數學史上最深邃和最難啃的論文之一。此文的要點包括：

一，我們應該把ζ（s）中的自變數s理解為複數（complex number），而不只是實數；

二，我們可以透過解析延拓（analytic continuation），讓ζ（s）在s < 1的地方也獲得定義；

三，透過對ζ（s）的研究，我們可以對小於等於某個數x的質數的個數給出一個明確的表示式，在這個表示式中唯一未知的就是ζ（s）的零點的位置；

四，黎曼猜測，ζ（s）的零點都位於某些地方，這個猜測就是黎曼猜想。

現在我們來解釋一下。尤拉ζ函式是這樣一個對所有自然數求和的級數：

需要注意的是，這個級數只在s > 1時收斂，在s ≤ 1是發散的，因此沒有意義。但是黎曼提出了一種透過ζ（s）來定義ζ（1 - s）的方法，硬是把這個函式擴充套件到了s ≤ 1的區域。

黎曼是怎麼做的呢？在s > 1的情況下，黎曼經過一番巧妙的變換，證明了下面這個等式：

這裡的Γ是尤拉Gamma函式，是階乘的擴充套件。如果你看不懂細節，這並不重要。真正重要的，是看右邊這個關於s的表示式：把s換成1 - s，答案不變。

為什麼呢？因為這時前面的分式中的分母s（s - 1）變成了（1 - s） （-s），你看，確實不變。而後面的積分當中的兩個指數，-（s + 1）變成了-（2 - s） = s - 2，而s - 2變成了-（s + 1），你看，剛好是互換了一下，所以還是不變。結論是：右邊的表示式，在s換成1 - s時，保持不變！

因此黎曼指出，左邊的表示式在把s換成1 - s時，也保持不變。也就是說：

這個等式叫做黎曼的函式方程。根據這個等式，如果你知道了ζ（s），你就可以算出ζ（1 - s）。就這樣，黎曼對ζ函式做出瞭解析延拓，從它已知的在s > 1時的值，就可以定義它在s < 1時的值！

由於時間關係，在這裡我們只能講這個證明的大略。真正驚人的是，你如果照著他的證明一路推下去，你就會看到他的結論是正確的，但他是怎麼想到這個做法的？這就完全是“一劍西來，天外飛仙”！即使在專業數學家看來，黎曼的思路也非常神奇，遠遠不是顯而易見的。

一劍西來，天外飛仙

在這樣神乎其神的洞察力和創造力面前，我們感到深深的震驚和敬佩。就像周星馳的電影《國產凌凌漆》裡的臺詞：

“你那憂鬱的眼神，唏噓的鬍碴子，神乎其技的刀法，還有那杯Dry Martine，都深深的迷住了我……”

《國產凌凌漆》

黎曼表現出來的，就是真正的神乎其技。我們應該感謝，有如此偉大的頭腦引領人類前進！

細心的同學可能會問：從s變換到1 - s，只能把大於1的變換到小於0，那麼0和1之間的怎麼辦呢？對此的回答是，早在黎曼之前，數學家已經對這個區域做出瞭解析延拓。

好，在黎曼的解析延拓之後，我們可以對全部的實數s畫出ζ（s）的影象如下：

如果把解析延拓比作搶救一個函式的話，那麼我們對ζ函式的搶救確實獲得了巨大的成功！只有s = 1這一點救不回來，在這裡它仍然是無窮大。ICU也不能包治百病啊！

我覺得我可以再搶救一下

順便說一句，在s < 1的區域，如果我們假裝不知道ζ函式的定義已經改變了，把s > 1時候的級數代進去，就會得到下面的形式結果：

以及很多諸如此類的形式上的等式。我們在每一個等號後面都加了個問號，是為了強調這些並不是真的相等，只是一種聯想。所謂“全體自然數的和等於-1/12”，“無窮多個1加起來等於-1/2”，以及“全體自然數的平方和等於0”等等，都是這麼來的，絕不是真的相等。如果你要問這些無窮級數實際上等於什麼，那當然是無窮大。

下一點要解釋的是，黎曼ζ函式的定義域不只是實數，而是複數。如果你不知道複數是什麼，那麼我們可以稍微解釋一下：複數就是所有的x + yi，其中x和y是兩個實數，而i是-1的平方根，即i的平方等於-1，x叫做這個複數的實部，常用Re來表示，y叫做這個複數的虛部，常用Im來表示。全體的實數可以用一根數軸來表示，而全體的複數需要用一個平面來表示，這個平面的x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，在這個平面上座標為（x， y）的一個點就對應於x + yi，這個平面叫做複平面。我們也經常把複數理解為一個向量，這個向量的起點是原點，終點是（x， y）。在這些意義上，實數是一維的數，而複數是二維的數。

把ζ函式的自變數s擴充套件為複數後，很容易證明，原來的級數在s的實部（即Re（s））大於1時是收斂的，而在Re（s）小於1時是發散的。經過黎曼的解析延拓後，ζ函式最終變成了這樣：

在整個複平面上，黎曼ζ函式只在s = 1這一點沒有定義，而在其他所有的點都有定義。你也許會問，指數為複數的乘方怎麼計算？回答是，看一下高中數學課本就知道了，關鍵全都在這個尤拉公式裡：

這對應於一個長度為1的向量，它的方向是從實軸旋轉了角度θ。根據尤拉公式，一個底數為實數r、指數為複數x + yi的乘方就等於：

因此，結果向量的長度只與指數的實部x有關，與指數的虛部y無關；而它的方向只與y有關，與x無關。也就是說，如果給指數加上一個純虛數，就相當於給乘方的結果做了一個

旋轉

。如果給指數加上一個實數，就相當於改變了乘方向量的

長度

，而方向不變。而如果給指數加上一個實部和虛部都不等於0的複數，乘方的結果就是既改變大小，也改變方向。

黎曼把ζ函式的自變數s從實數擴充套件到了複數，也就是說把ζ函式從實變函式變成了複變函式，這樣做有什麼好處呢？

好處在於，在某種意義上，複變函式比實變函式簡單。是的，你沒聽錯，二維的複變函式比一維的實變函式簡單。

為什麼呢？因為在數軸上接近一個點，只有兩個方向，左和右，而在複平面上接近一個點，卻有無窮多個方向，例如左邊、右邊、上邊、下邊以及任意傾斜的方向。如果對無窮多個方向做計算都能得到同一個結果，那麼這是一個非常強的限制條件，能透過這樣的限制條件的複變函式就很容易處理，比實變函式容易處理得多。例如，複變函式的解析延拓就比實變函式的解析延拓容易得多。因此數學界有這樣的笑談：實變函式處理的都是性質非常惡劣的函式，複變函式處理的都是性質非常良好的函式。

現在我們可以理解黎曼的做法了。用《三體》的語言說，黎曼對ζ函式發動了“降維打擊”！

二向箔

複變函式的一個特點是，許多性質是由它的零點（zero）決定的。所謂零點，就是使得這個函式取值為0的點，例如正負i就是複變函式f（z） = z2 + 1的兩個零點。

如果你在複平面上圍著一個零點做一條曲線，好比扔一個套索套住這個零點，然後求函式在這條曲線上的積分，那麼你會發現積分結果完全由零點的性質決定，跟曲線的具體情況沒有關係。你可以把這條曲線擴大一點或者縮小一點，拉長一點或者壓扁一點，都對結果完全沒有影響，你只需要知道函式在零點附近的行為就夠了。

來，讓我們為複變函式獻上一首《套馬杆》！套馬的數學家，你威武雄壯！

套馬杆

黎曼對ζ函式套了一通馬之後，套出了下面這個驚人的等式：

這個等式說的是什麼呢？左邊的J（x）是一個階梯函式，它在x = 0的地方取值為0，然後每經過一個質數（例如2、3、5）就增加1，每經過一個質數的平方（例如4、9、25）就增加1/2，每經過一個質數的三次方（例如8、27、125）就增加1/3，如此等等，每經過一個質數的n次方就增加1/n。你可以把它理解為，一個質數的n次方被算作了1/n個質數。顯然，這個函式跟質數的分佈密切相關。

來看等式的右邊。第一項Li（x）叫做對數積分函式（logarithmic integral function），它的定義是：

對數積分函式的影象是這個樣子：

在x很大的時候，Li（x）就約等於x/lnx。

再來看第二項，這裡的函式形式仍然是對數積分函式，但自變數卻變得非常有意思，是所有的x的ρ次方。這些ρ是什麼呢？回答是：黎曼ζ函式的非平凡零點（non-trivial zeroes）。

零點我們知道了，就是使函式取值為0的那些點。為什麼又加個“非平凡”呢？因為黎曼證明了，s等於-2、-4、-6、-8等負的偶數值的時候，ζ（s）必然等於0。如果用類似於“全體自然數的和等於-1/12”那樣的開玩笑不嫌事兒大的語言，就可以說“全體自然數的平方和等於0”，“全體自然數的四次方和等於0”，“全體自然數的六次方和等於0”，以至於“全體自然數的偶數次方和等於0”。在數學家們看來，這是一目瞭然的，於是他們把ζ函式的這些零點叫做平凡零點（trivial zeroes）。好吧，數學家的“一目瞭然”和我們真是兩個概念！

但是除了負的偶數之外，黎曼ζ函式還有其他的零點。這些零點的位置就遠遠不是一目瞭然的了，即使對黎曼都不是，因此被稱為非平凡零點。上面提到的ρ就是這些非平凡零點。可以確認的是，非平凡零點肯定不在實軸上。在實軸上除了負的偶數，沒有其他的零點了。

你也許會問，既然非平凡零點ρ不是實數，那麼x的ρ次方也不是實數，對這樣一個虛數自變數的對數積分函式是怎麼計算的？回答是：數學家又做了一個解析延拓，把對數積分函式的定義域擴充套件到了複數。

總而言之，黎曼套馬杆的結果，就是對一個與質數分佈密切相關的函式J（x）給出了一個表示式，其中唯一不清楚的部分來自黎曼ζ函式的非平凡零點。

然後，讓我們回顧一下，黎曼這篇論文的標題叫做《論小於給定數值的質數個數》。有一個函式叫做質數計數函式（prime-counting function），意思是小於等於給定數值x的質數個數，數學家經常把它寫成π（x）。這個名字有點杯具，因為它跟圓周率π毫無關係。

讓我們來舉個例子，小於等於1的質數有多少個？回答是沒有，所以π（1） = 0。小於等於2的質數有多少個？回答是1個，就是最小的質數2，所以π（2） = 1。小於等於3的質數有多少個？增加了一個質數3，所以π（3） = 2。類似地，π（5）= 3，π（7） = 4，π（11） = 5等等。對於前60個自然數，質數計數函式的影象如下：

顯然，如果我們對質數計數函式知道了一個簡便的計算公式，那麼對第n個質數也就有了快速的演算法。如我們在本系列中第一篇所說的，這將造成驚人的後果，對理論和應用都產生巨大的影響。

你也許會嘆息，黎曼得到的並不是π（x），而是J（x）。沒關係，這兩個函式包含的資訊是等價的，從它們中的一個就可以推出另一個。在這個意義上，質數分佈的全部資訊都包含在黎曼ζ函式非平凡零點的位置當中。用《肖申克的救贖》中的臺詞說：“得救之道，就在其中！”

得救之道，就在其中

具體地說，π（x）和J（x）之間的關係是：

這裡的μ（n）叫做莫比烏斯函式（Möbius function）。沒錯，就是莫比烏斯帶的那個莫比烏斯（August Ferdinand Möbius，1790 - 1868），這又是一位偉大的德國數學家。

莫比烏斯帶

莫比烏斯函式的取值只有三種可能：0和正負1。如果n可以被任何一個質數的平方整除，也就是說在它的質因數分解中有一個質因數出現了二次或更高次方，那麼μ（n） = 0。如果n不能被任何一個質數的平方整除，也就是說n的任何一個質因數都只出現一次，那麼我們來數質因數的個數。假如質因數有偶數個，那麼μ（n） = 1。在這裡還包括了n = 1的情況，因為它沒有質因數，0算作偶數，所以μ（1） = 1。而假如質因數有奇數個，那麼μ（n） = -1。

由此可見，μ（1） = 1，μ（2） = -1，μ（3）= -1，μ（4） = 0，μ（5） = -1，μ（6） = 1等等。這正是上面的展開式中用到的前幾項。

很顯然，J（x）是一個增函式。在上面的展開式中，隨著n的增加，x的1/n次方變得越來越小，相應的第n項也變得越來越小。因此，對π（x）貢獻最大的就是第一項，J（x）。而對J（x）貢獻最大的來自哪一項呢？這就涉及到黎曼ζ函式非平凡零點的位置了。

一個非平凡零點ρ的實部和虛部經常被記為σ和t，即ρ = σ + it。黎曼很快就證明了，ρ不可能出現在σ > 1或者σ < 0的地方。也就是說，非平凡零點只可能出現在0 ≤ σ ≤ 1的區域裡。在複平面上，這對應於一條寬度為1的豎直條帶，人們把它稱為臨界帶（critical strip）。

然後，根據黎曼ζ函式的形式，很容易發現零點對於實軸是對稱的。也就是說，如果σ + it是一個零點，那麼它的共軛複數σ - it也是一個零點。因此，非平凡零點總是上下成對出現的。當我們說第n個非平凡零點的時候，指的總是第n個虛部為正數的非平凡零點，而虛部為負數的那些自動地就知道了。

再然後，根據黎曼的函式方程，即ζ（s）與ζ（1 – s）之間的聯絡，又很容易發現，非平凡零點對於σ = 1/2這條豎線是對稱的。也就是說，如果σ + it是一個零點，那麼1 - σ + it也是一個零點。

黎曼計算了幾個非平凡零點的位置，發現它們的實部都等於1/2。例如第一、二、三個非平凡零點，實部都等於1/2，而虛部分別約等於14。1347、21。0220和25。0109。然後，他就做出了一個驚天動地的猜想：

黎曼ζ函式所有的非平凡零點，實部都等於1/2！

這就是黎曼猜想，數學中最大的未解之謎之一。

我們把σ = 1/2的這條豎線稱為臨界線（critical line），也就是臨界帶的中心線。前面我們已經知道了，所有的非平凡零點都在臨界帶裡。但黎曼猜想卻大大地加強了這個結論，它說的是：所有的非平凡零點都在臨界線上！

臨界線與臨界帶

這是一個非常令人驚訝的結論。假如非平凡零點的實部是在0到1之間隨機取值，那麼它剛好取到1/2的機率應該等於0。而現在黎曼卻認為這個機率是100%！這件事如果是真的，就說明它一點都不隨機，在這背後肯定有深刻的原因。

黎曼猜想到底對不對呢？目前還沒有被普遍接受的證明或證偽。但數值計算的結果，已經為這個猜想提供了強有力的支援。

到目前為止，人們已經計算了十萬億個非平凡零點。然後你猜怎麼著？這十萬億個非平凡零點都整齊劃一地躺在臨界線上。十萬億！因此，絕大多數數學家都相信黎曼猜想是正確的。

黎曼猜想有什麼用呢？我們可以舉一個容易理解、也意義重大的例子，這是一個在探索黎曼猜想的過程中得到的中間結果。

來問你一個問題：在1到10的100次方的範圍內，大約有多少個質數？

數學王子高斯小時候就研究過質數分佈的問題。怎麼研究呢？每當他有空的時候，就挑出幾個長度為1000的自然數區間，算出這些區間中的質數個數。你看，這就是高斯的消遣！

高斯

顯然，隨著數字的增大，質數一般而言會變得越來越稀疏。但具體是怎麼個稀疏法呢？在做了大量的計算和比較之後，高斯發現質數分佈的密度大約是對數函式的倒數，也就是說，在x附近的一個數是質數的機率大約是1/lnx。你看，數學家的消遣能夠結出什麼樣的果實！後來，法國數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）也得到了同樣的結果。

勒讓德（沒錯，就是這麼一副怒髮衝冠的樣子）

高斯和勒讓德的結果，只是來自數值實驗，沒有嚴格證明，因此只能算作猜想，跟黎曼猜想屬於同一層面。

在高斯和勒讓德的猜想困惑了人們100多年後，1896年，法國數學家阿達馬（Jacques Salomon Hadamard，1865 - 1963）和比利時數學家德·拉·瓦·布桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866 - 1962）終於證明了它。從此之後，這個命題被人們稱為質數定理（prime number theorem）！看這個名字就知道，它的分量有多重了。

但在方法論上，質數定理卻只是研究黎曼猜想的一箇中間產物。黎曼一上來就證明了，黎曼ζ函式的非平凡零點只能出現在0 ≤ σ ≤ 1的臨界帶裡。對於質數定理而言，討厭的就是那兩個等於號。如果能去掉等於號，也就是說把臨界帶去掉兩條σ = 0和σ = 1的邊界，讓非平凡零點只能出現在臨界帶的內部而不是左右邊界上，那麼質數定理立刻就獲得證明了。因為這時你就很容易證明，對質數計數函式π（x）的主要貢獻來自對數積分函式Li（x），次要貢獻來自黎曼ζ函式的所有非平凡零點。

所以讓我們再次感謝，有如此偉大的頭腦引領人類前進！

在1896年，也就是在黎曼1859年的論文發表37年之後，阿達馬和德·拉·瓦·布桑終於去掉了這兩條邊，從而證明了質數定理。我們前面說過，藍眼睛島問題跟黎曼猜想相比，就好像新手村送經驗的小怪跟終極大boss的對比。現在你能體會到了吧？

質數定理的內容，其實就是小於等於x的質數個數π（x）約等於Li（x）。說得嚴格一點，就是當x趨於無窮時，π（x）與Li（x）的比值趨於1。前面我們說過，在x很大的時候，Li（x）約等於x/lnx。因此質數定理也可以表述成，π（x）約等於x/lnx。

從上面這個圖可以看到，隨著x增大，π（x）與這兩種近似表示式的比例都趨近於1。不過，π（x）除以x/lnx趨近於1的速度很慢，而π（x）除以Li（x）趨近於1的速度就快得多。也就是說，作為對π（x）的近似，Li（x）比x/lnx要好得多。不過這只是定量的區別，不是定性的區別。

用密度的語言說，在x附近的一個自然數是質數的機率，大約是1/lnx。與此同時，在小於等於x的自然數中任選一個是質數的機率，也大約是1/lnx。

因此，在從1到10的100次方的範圍內，大約有多少個質數呢？現在x等於10的100次方，對它取自然對數，得到lnx = 100ln10 ≈ 230。26。從1到10的100次方中的質數個數，大約就是x除以230。26，約等於4。3924乘以10的97次方。以後，你就可以去考別人類似的問題了。你看，這是多麼重大的進展！

由此可見，質數定理構成了我們對質數分佈的基礎描述，而黎曼猜想表徵的就是對這個基礎描述的修正。下面這個動圖，就表現了用0到200個非平凡零點來計算質數計數函式時，效果的逐漸改善。再次重複一下，質數分佈的全部資訊都包含在黎曼ζ函式非平凡零點的位置當中。得救之道，就在其中！

最後順便說一句，請注意證明了質數定理的這兩位數學家的壽命：德·拉·瓦·布桑活到96歲，阿達馬活到98歲！

德·拉·瓦·布桑

阿達馬

因此數學界有一個說法：如果有人證明了黎曼猜想，他就會不朽。不僅僅是精神層面的不朽，那是理所當然的，而且還是物質層面的不朽，即長生不老！理由是：你看，這兩位還沒有證明黎曼猜想，僅僅是取得了一點進展，就活到了近一百歲。如果是證明了黎曼猜想的，那還得了嗎？嗯，從這個角度看起來，最有希望證明黎曼猜想的人就是……

擴充套件閱讀：

紀念施皖雄，純粹數學家都是一往無前的勇者 | 科技袁人

理解黎曼猜想（一）背景 | 袁嵐峰

理解黎曼猜想（二）兩個自然數互質的機率是多少？| 袁嵐峰

理解黎曼猜想（三）你真的相信全體自然數的和等於-1/12嗎？| 袁嵐峰

理解黎曼猜想（四）得救之道，就在其中 | 袁嵐峰

理解黎曼猜想（五）宇宙的密碼 | 袁嵐峰

理解黎曼猜想（六）朝聞道 | 袁嵐峰

黎曼猜想（一）每出現一個數學公式，就會嚇跑一半觀眾？如何打破“跳蚤效應” | 科技袁人

黎曼猜想（二）兩個自然數互質的機率是多少？我不僅算起黎曼猜想，還寫了個程式 | 科技袁人

黎曼猜想（三）你真的相信全體自然數的和等於-1/12嗎？| 科技袁人

背景簡介：

袁嵐峰，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家研究中心副研究員，中國科學技術大學科技傳播系副主任，中國科學院科學傳播研究中心副主任，科技與戰略風雲學會會長，“科技袁人”節目主講人，安徽省科學技術協會常務委員，中國青少年新媒體協會常務理事，中國科普作家協會理事，入選“典贊·2018科普中國”十大科學傳播人物，微博@中科大胡不歸，知乎@袁嵐峰（

https：//www。zhihu。com/people/yuan-lan-feng-8

）。