深入解析：統計審計裡面“本福特法則”如何執行

引言

1998年5月，財經記者賀宛男發表了重磅文章《東拼西湊的10%》，揭露了許多當年上市公司操縱財務資料的手法。有趣的是，它們的目的都是相同的：千方百計地將淨資產回報率做到10%以上。

為什麼會出現這種情況？因為當時證監會有規定，上市公司必須連續三年淨資產回報率在10%以上，才有資格配股。

現在A股市場的主要融資手段是定向增發，而在20世紀90年代，還沒有“定增”這個“新生事物”，所以配股資格是決定上市公司能否融資的關鍵。

2000年，財經作家周俊生在其專著《金錢的運動》中談及此事。他指出，其實用不著去搜尋具體的操縱證據，只要把所有A股上市公司的淨資產回報率資料拿出來彙總一下，立即可以發現：淨資產回報率在10%左右的公司數量異常集中。

僅此一條，足以說明問題。這種不需要微觀證據，直接從宏觀上給出證明的方法，叫作統計審計，以上只是一個簡單案例。統計審計裡面還有一個非常強力的工具，叫作“本福特法則”。

本福特法則的內容，可以這樣簡單理解：把上市公司的歷年財務資料拿出來，不論什麼專案，統統羅列在一起，只看它們的首位數。

應當預期，其中大約有30%是以1為首位數字的。如果不是，那麼這一堆資料中，很可能有假。此時你應當警覺起來，準備做進一步的審查。

這是什麼道理呢？從數學上說，時間序列資料之間通常存在著一些比較穩定的比例關係。

比如說，銷售收入每年增長15%左右，淨資產每年增長10%左右，等等。那麼對一個等比數列來說，顯然首位數字出現1的機率是明顯大於其他數字的。

你可以這樣想，等比數列從1增長到2需要很長的時間，而從2增長到3所需要的時間就短多了，因為基數變大了；從8到9甚至一步就跨過去了；從10增長到20也相對慢，從20到30或者從30到40就相對快多了。從100到200、從1000到2000也都同理。

按照嚴格證明，對任何一個無限等比數列來說，首位數字出現1的機率大約是30。1%，出現2的機率是17。6%，出現9的機率只有4。6%。當然實際資料不可能吻合得這麼完美，所以本福特法則的檢驗標準就是首位數字出現1的機率大約為30%。事實上，除了時間序列資料，本福特法則還有更廣泛的適用場景。

比如說，世界各國的上市公司市值資料也符合本福特法則。

以2020年5月為例，當時美國市場上所有上市公司的市值資料中，以1為首位數字的佔29。7%，日本為28。5%，英國為28。4%，法國為29。3%，德國為26。5%，韓國為26。1%，都與本福特法則預測的30%相差不多。

我們也可以更換其他時間節點，比如2019年8月或者2009年3月，結論都是差不多的。對於這一點，讀者們可以自行驗證

。這個現象怎麼理解？這說明，如果將一個國家的上市公司視為一個整體，則它們的市值分佈存在著一些宏觀規律。

我們可以用雁群來打比方。在微觀上，每一隻大雁的飛行固然有其微觀的表現規律，有時快，有時慢；但是在宏觀上，整個雁群的形態卻是穩定的。每當有某幾隻大雁相對落後時，就會有另外幾隻大雁向前突進，從而形成一個動態的平衡。

我們可以對全體美股的市值資料取對數，然後分檔歸類，不難發現，它基本符合正態分佈。也就是說，美股上市公司中，市值在1億美元到10億美元的數量最多，市值在百億美元和千萬美元級別的數量較少，市值在千億美元以上或者百萬美元以下的就很罕見了。

正態分佈的數學意義是無窮多個二項分佈的疊加，所以我們也可以這樣來理解美股上市公司這個群體。

假設有數千個企業，最初它們都具有同樣的市值，每過一個時期，其中一部分公司的市值會增長，另一部分會下降。

經過若干期之後，只有少數公司能夠持續上升，另有少數公司將會持續下降，這兩類公司構成了正態分佈的兩翼。而更多的公司表現漲跌互現，它們的市值也因此聚集在一起，形成了正態分佈的中腹。

請注意，上述過程決定了一個國家上市公司市值的整體分佈形狀，它與具體某家公司市值上升或下降的機率無關。

在牛市中，每家公司的市值都更有可能上升，但是仍然只有少數能夠高速增長，同樣也會有少數公司掉隊落後，留在中間的總是大多數。所以在整體擴張的同時，它的形狀仍然可以保持不變。

熊市中的情況也是這樣。當然，我們這裡觀察的都是全球最大的幾個股票市場。在較小的市場中，本福特法則就很有可能不成立了。

比如沙特，它的市場結構就不是什麼“雁群”，而是阿美石油這一隻“大象”帶領著一群“小老鼠”。

當我們對2020年5月的A股市值分佈進行檢驗時，會發現其中首位數字為1的比例只有22%，明顯低於本福特法則的預測。我們又更換了其他時間節點進行檢驗，得到的資料最高也就是25%，差距還是比較大的。這就相當於本福特法則向我們發出訊號了：有問題！

對A股市值分佈進行分類歸檔，我們可以從中發現，市值在十億元與百億元之間的公司數量最多，市值達到百億元和千億元的公司數量依次減少，這一點與美股等其他市場相同。但是市值低於十億元的公司數量急劇減少，似乎一下子消失了。

由此可以基本斷定，A股在市值分佈的右端，也就是小市值這一端出現了異常情況。

於是我們選取了歷史上比較極端的幾個時間點，對A股100億元以下市值的公司數量進行分檔，發現它們的分佈情況確實迥異於正態分佈。

正態分佈的右端應該是平緩向下的，也就是說，市值越小的公司數量越少，但是A股恰恰相反。A股的小市值公司數量很大，而且往往積聚在一個閾值之上，低於這個閾值的公司數量才開始急劇變少。

這個閾值是隨著市場行情變化的。2007年10月，大牛市頂點時這個閾值大約是19億元。

2008年12月，熊市底部時這個閾值下降到7億元。2015年6月，市場見頂前這個閾值又上升到49億元。2016年2月，市場見底時這個閾值再次下降到37億元。2020年5月，這個閾值為19億元。

為什麼會存在這樣一個閾值？答案是很明顯的：殼價值。可以說，除了個別在股東和監管方面有瑕疵的公司，其他所有A股上市公司都有殼價值，所以這個殼價值就成了一個市值閾值。一般公司的基本面無論有多差，它的市值都不會低於這個數值。那麼這個殼價值又從何而來呢？

這是一個典型的反身性過程。首先因為A股股民給的估值高，所以同樣的資產注入A股的潛在利益大。

然後又因為潛在利益大，所以大股東更喜歡在A股進行資產重組，於是A股的殼價值也就水漲船高了。正因如此，所以殼價值也是隨著市場行情上下波動的。牛市裡殼價值較高，熊市裡殼價值較低。

這與我們觀察到的市值閾值情況相吻合。如果我們的研究到此為止，那還算不上什麼發現，頂多是瞭解到了A股的某個特徵罷了。

假如你想從殼價值上面直接獲利，就得判斷殼價值本身的升降。

而殼價值的升降又是與市場行情同步的，所以這就等於要我們預判市場的漲跌。假如我們有這本事，還管它什麼殼不殼的呢？但是如果我們從“雁群”動態變化的角度去理解這件事，那就是“山重水複疑無路，柳暗花明又一村”了。從微觀上說，每隻股票在短期內漲跌的機率應該都是差不多的。

換句話說，漲跌機率相等的股票正處於均衡狀態。如果說漲跌機率不一樣，那麼肯定會在幅度上彌補回來，也就是說，最典型的隨機漫步是漲跌的機率和幅度都對半開。除此之外，還有兩種特殊的均衡狀態：一種是上漲機率小但漲幅大，另一種是下跌機率小但跌幅大。除

此之外，那些“很有可能大漲”或者“很有可能大跌”的股票，我們一般是碰不到的，只有非常精明優秀的選股者才能把它們找出來。

而且，如果這種股票大量存在，它們就不會在閾值附近形成集聚了。

結語

那麼從宏觀上看，市值在閾值附近的股票，它們的表現規律應該是什麼樣的呢？因為價格下跌的空間已經被封死了，所以它們的特徵應該是“一般不漲，一漲就大漲”。投資這些股票，就相當於用大機率的沉寂來換取小機率的爆發。

但是這裡還有一個問題，就是這些股票一旦開始上漲，很快就會遠離閾值，從而失去下跌保護，於是很有可能重新下落，回到閾值附近的集聚中去。

讓我們用通俗的語言把上面的分析重述一遍。殼價值支撐起了一群死氣沉沉的公司，它們的基本面乏善可陳，雖然沒有多少下跌空間，但是也沒有上漲的理由。