兩種分析方法，求解“用樣本估計總體”問題，大資料時代實用技能

1.

知識要點

統計廣泛應用於工作、生活中，如生產管理、影響管理，具有實用性強的特點。即使在當今的大資料時代，統計學的方法仍是資料分析的靈魂。

高中階段學了用樣本估計整體的兩種方法，它們在整個統計過程的

位置與作用

見下圖：

① （直觀的）頻率分佈法——分佈表、直方圖、折線圖、莖葉圖

② （量化的）數字特徵法——眾數、中位數、極差、平均數、方差

2.

基本問題說明

一般地，用樣本估計總體的基本問題有：

① 根據已知樣本資料，求解頻率

分佈表

和/或畫出直方圖、折線圖、莖葉圖，以此估計總體的情況。；

② 根據已知樣本資料，求解眾數、中位數、極差、平均數、方差等

數字特徵

，以此估計總體的情況。

3.

解決問題的一般方法

1） 熟練掌握頻率分佈表、直方圖、折線圖、莖葉圖等概念及其求解一般方法

① 畫頻率分佈直方圖的

一般方法

a） 確定橫座標

求極差（即一組資料中最大值與最小值的差）；

定分組數；

得每組資料（即組距。注意，兩組之間的邊界值歸入上或下一組都行，但通常不會同時被包含或不被包含！）

b） 確定縱座標

統計頻數；

算出頻率；

得出縱座標（即頻率/組距）；

c） 列頻率分佈表（在解答填空或選擇題時，在草稿紙上簡捷完成即可，目的是為了方便檢查和避免犯錯）

統計頻數；

計算頻率。

d） 畫頻率分佈直方圖。

提示

1：頻率分佈直方圖中小矩形的面積=組距×矩形高度（頻率/組距）=頻率。

提示

2：各組頻率之和為1（可利用此點來演算）。

② 莖葉圖的作圖步驟及要求

a） 先莖後葉；

b） 莖有序，葉無序（按資料出現先後順序依次填入即可）

2） 熟練掌握眾數、中位數、極差、平均數、方差等數字特徵的概念與公式。

4.

典型例題

例1

在生產過程中，測得纖維產品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有 100 個數據，將資料分組如表。

（1）完成頻率分佈表，並畫出頻率分佈直方圖。

（2）估計纖度落在［1。38， 1。50］中的機率及纖度小於1。40的機率是多少？

（3）統計方法中，同一組資料常用該組區間的中點值（例如區間［1。30， 1。34］的中點值是1。32）作為代表．據此，估計纖度的期望。

解

：（1）頻率分佈表如下（

提示

：注意分組邊界處為一開一閉）：

頻率分佈直方圖如下：

（2）纖度落在［1。38， 1。50］中的機率約為：

0。30+0。29+0。10 =0。69；

纖度小於1。40的機率約為：

0。04+0。25+0。5×0。30=0。44；

（3）總體資料的期望約為：

1。32×0。04+1。36×0。25+1。40×0。30+1。44×0。29+1。48×0。10+1。52×0。02=1。4088。

講解

：

① 如還未學到數學期望的概念，可跳過最後一問。不過，也可參照基礎知識中的“加權平均數”概念現學現賣：當統計物件為樣本值、權為其頻率時，此時的加權平均數成為

數學期望。

例2 (

山東文14）如圖是根據部分城市某年6月份的平均氣溫（單位： “C）資料得到的樣本頻率分佈直方圖，其中平均氣溫的範圍是［20。5， 26。5］， 樣本資料的分組為［20。5， 21。5）， ［21。5， 22。5）， ［22。5， 23。5）， ［23。5， 24。5）， ［24。5， 25。5）， ［25。5， 26。5］。 已知樣本中平均氣溫低於22。5”C 的城市個數為11， 則樣本中平均氣溫不低於25。5“C 的城市個數為___

解：

平均氣溫低於22。5℃的頻率，即最左邊兩個矩形面積之和為：

0。10×1+0。12×1=0。22，

所以總城市數（樣本容量）為：

11÷0。22=50，

平均氣溫不低於25。5℃的頻率即為最右面矩形面積為：

0。18×1=0。18，

所以平均氣溫不低於25。5℃的城市個數為：

50×0。18=9．

故所求城市個數為9。

講解

講解

① 本題考查頻率分佈直方圖的應用能力，即根據已知頻率分佈直方圖，閱讀並利用圖形及其資料來分析和解決問題的能力。

② 根據已知的頻率分佈直方圖，可得到以下關係式：

關係式1：頻率=小矩形的面積=組距×矩形高度（頻率/組距）

關係式2：頻數=頻率×樣本容量。

關係式3：各組頻率之和為1（這點除了用來解題，還可用以驗算）。

：

③

逆用關係式“頻數=頻率×樣本容量”先求出樣本容量，再正用該關係式求出所求頻數。

本題的解題一般方法

：由“頻數=頻率×樣本容量”可變形為“樣本容量=頻數/頻率”，

解題一般方法

。所以本題也可簡潔地列出以下等式進行求解：11/0。22 = x/0。18。

提示1

出題人也可以

即不同組的頻數/頻率值相等

如各組頻率之和為1來進行題設，分析、求解方法與本題類似。因此，只要熟練掌握頻率分佈直方圖的概念和特性，無論正用或逆用，均能靈活應用、觸類旁通。本文就不應用舉例了。

提示2：

逆用其它關係式

在最近的10次數學考試中，甲同學的成績分別為82，85，73，65，74，91，83，76， 93， 88；乙同學的成績分別為75，68，73，74，84，83，66，87，77，85， 根據以上資料做甲乙兩個人成績的莖葉圖。

：如圖。

例3

：

① 莖葉圖的特性

a） 能讀出原始資料（莖葉拼在一起即可）

b） 莖葉圖逆時針旋轉90度，就成了另類直方圖了

c） 莖葉圖具有易修改、易增添、有原始資料等優點（但不適用於資料量大的情形而直方圖適用）

d） 直觀

解

甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數字表示零件個數的十位數，兩邊的數字表示零件個數的個位數，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數分別為___和___。

講解

例4

：（

：已知莖葉圖的應用，只要能讀懂圖即可解出來。屬送分題，千萬不能算出）

由莖葉圖知，甲加工零件個數的平均數為：

（19+18+20×2+21+22+23+31×2+35）/10=24

乙加工零件個數的平均數為：

（19+17+11+21+22+24×2+30×2+32）/10 = 23

故答案為：24；23．

解

：

① 本題為統計數字特徵的基礎應用題型。

② 無論何種解法，都必須先掌握準確理解相關基本概念及其應用的一般思路和方法，然後再根據題意靈活選取合適解題路徑或思路。

③ 本題結論意為：=α+（1-α），即與、之間的接近程度不是由其平均值大小決定的，而是由兩組樣本的數量大小決定。

提示

：

① 熟練掌握數字特徵公式及其應用與逆用。

講解

由正整陣列成的一組資料x1，x2，x3，x4，其平均數和中位數都是2，且標準差等於1，則這組資料為______．（從小到大排列）

解得x4=1（捨去）或x4=3，符合題意，由此可得x1=1

故答案為1，1，3，3

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