從簡單規則中產生複雜圖案，自然是如何做到的？

自然非常懶惰，總是重複套用一些簡單規則，來生成各種複雜圖案。

撰文 | 陳天真

變色龍｜Chiswick Chap

人類大腦天生擅長識別各種圖案，比如湖面的波紋、斑馬的條紋、烏龜的殼、層層黛瓦，甚至晶體結構。

眼睛告訴我們，圖案是一些圖樣不斷重複，週期性排列。不過你有沒有想過，自然是如何創造出這些複雜圖案的呢？

答案或許比想象中簡單得多，靠一遍又一遍重複同樣的簡單規則。1952年，天才的計算機科學家艾倫·圖靈提出一種理論認為，

僅僅透過簡單的物理和化學定律，就能形成自然界豐富多樣的圖案

，從動物的斑紋，到植物葉和花的排列，再到沙漠的波紋……

從這個角度而言，所謂的大道至簡，其實不過是自然很懂得偷懶。

斑馬條紋｜Quanta Magazine

圖靈斑圖

最初吸引圖靈思考圖案形成原理的是這樣一個問題：在胚胎髮育早期，由相同細胞組成的球形胚胎如何發育成了具有不同特徵的有機體，使得一些細胞長成四肢，另一些長成眼睛，等等。也就是說，生物體如何從均勻對稱自發分化出不同結構，經歷所謂的對稱性破缺。

圖靈提出，是一種叫做

形態發生素

的化學物質在細胞和組織中擴散，像墨水在水中擴散一樣，將胚胎塑造成了不同結構。不過對於形態發生素到底是什麼，圖靈卻含糊其辭，它們可能是激素，也可能是基因。關鍵之處在於，它們擴散並相互反應。

有趣的是，圖靈的理論對於胚胎髮育並非必需，反而對生物學中的模式形成產生了廣泛影響。它證明了生物的發展並不需要注入神秘的生命力，而是同樣遵循普通的物理化學規律。

1972年，德國馬克斯·普朗克病毒研究所的發育生物學家在不知道圖靈工作的情況下，獨立提出了一種生物模式形成理論。他們發現，靜態的化學模式可以僅僅由兩種相互作用的成分產生：一種是

啟用劑

，它是自催化的，可以促進圖案生長，另一種是

抑制劑

，可以抑制啟用劑的作用。

抑制劑由於擴散速率更快，會將啟用劑的擴散限制在區域性區域，並阻止相鄰斑塊距離太近

。這就像一片森林由於乾旱有許多起火點，如果迅速撲滅火苗，就只會讓一些區域淪為焦土，火勢不會蔓延到整片森林。

事實上，這裡的啟用劑和抑制劑正是圖靈所說的形態發生素。這種啟用-抑制的方案可以產生斑點、條紋等圖案，這被稱為

圖靈斑圖

。理論上，圖靈斑圖可以是完美有序的點陣或條紋陣列，但在實際中，隨機缺陷會打破這種完美，產生錯落有致卻並非秩序井然的圖案。

美洲豹的斑點、華南虎的條紋都是圖靈斑圖。｜USFWS/維基百科，J。 Patrick Fischer

自然如何創造圖靈斑圖？

獵豹的斑點、斑馬的條紋、貝殼的紋路，還有瓢蟲甲殼上鮮豔的斑點，都可以用圖靈斑圖很好地解釋。要識別出圖靈斑圖並不難，但要找出是

哪些反應發揮了啟用劑和抑制劑的作用

，則非常具有挑戰性。

斑馬魚的身體側面覆蓋著五條橫紋，從頭部延伸到尾巴，和斑馬頗為相似。對斑馬魚條紋的實驗表明，它們確實是按照圖靈機制形成，但不是利用分泌到身體中的化學物質，而是用

兩種不同型別的細胞

，嵌入細胞膜中的分子很可能發揮了啟用和抑制的作用。

斑馬魚。｜維基百科

鯊魚的面板表面覆蓋著一層叫做皮齒的微小鱗片，像盔甲一樣保護它們的身體。這些皮齒的排布也會形成圖靈斑圖，正如鳥類羽毛、哺乳動物毛囊的排布一樣，而且，促使它們形成圖靈斑圖的很可能是類似的

基因

。這些基因穿越數百萬年的演化歷史，在親緣關係遙遠的鳥類和鯊魚身上都保留了下來。

鯊魚頭部

皮齒的排布形成圖靈斑圖。｜Rory Cooper/QuantaMagazine

圖靈斑圖不僅出現在生物體中，在自然界可以說無處不在。自然似乎非常懶惰，一旦發現圖靈斑圖這樣簡單而高效的方法，就會樂此不疲地一再使用，製造出各種美麗圖案。

例如，

沙漠的波紋

和圖靈斑圖非常類似。沙堆由風吹的沙粒沉積而成，隨著一道沙堆變大，會從空氣中吸收更多沙子，從而進一步促進自身生長。不過在長大過程中，沙堆從風中留下了沙子，也抑制了其他沙堆在旁邊形成。這個過程類似於一種啟用-抑制系統，確保一道道沙堆之間的距離大致均勻。

沙漠的波紋｜Bob Wick， BLM

圖靈斑圖也可以出現在原子尺度上

。7月8日，發表在《自然·物理學》上的一項最新研究發現，在二硒化鈮（NbSe2）晶體表面形成的鉍單原子層，由於原子間相互作用和動力學影響，會形成規則的條紋圖案，相鄰條紋間距為5個原子（大約2奈米）。這裡促使圖案形成的只有一種化學成分，那就是鉍原子。鉍原子在垂直方向和水平方向的不同位移，發揮了啟用劑和抑制劑的作用，創造出了這種目前最小的圖靈斑圖。

奈米尺度也可以形成條紋狀的圖靈斑圖｜Yuki Fuseya from University of Electro-Communications

我們可以看到，從宏觀到微觀尺度，從生命到非生命世界，

如果有任何兩種作用可以作為啟用劑和抑制劑，彼此之間達到一種動態平衡狀態，總是可以產生週期性的模式

。這些模式形成的具體機制或許不同，背後卻遵循著相同的數學規律。

大自然的語言是數學

說到這裡，我們自然會想到伽利略那句話，大自然的語言是數學。

其實除了圖靈斑圖，自然還有一種圖案形成機制——

分形

。分形同樣是從非常簡單的數學物理規則，得到自然中各種複雜美妙的圖案。比如，蜿蜒的海岸線、險峻的山峰、不斷分叉的樹枝和閃電、你喜歡或不喜歡吃的花椰菜，甚至身體裡曲曲折折的血管，都是分形結構。

分形結構又是如何創造出來的呢？和反覆利用圖靈機制時一樣，懶惰的自然再次使出絕招——重複。

以最簡單的一種分形結構——

科赫曲線

為例，從一個等邊三角形開始，將每條邊中間的三分之一替換成一個較小的等邊三角形的兩條邊組成的“尖峰”，接著繼續重複同樣的操作，無限重複，最終會得到一個雪花一樣的美妙曲線。

科赫曲線｜維基百科

另一種分形結構——

曼德布洛特集合

，則可以由一個簡單的公式反覆迭代獲得。

如果我們像放大一張地圖一樣不斷放大分形結構，會發現它的複雜性並不會減少，同樣的結構會一次又一次出現。即使無限放大，也可以看到複雜瑰麗圖案內部的精妙細節。也就是說，

分形結構的區域性和整體的形狀是相同的，在不同尺度上看起來一模一樣，具有自相似性和尺度不變性

。

曼德布洛特集合即使無限放大，也可以看到複雜瑰麗圖案內部的精妙細節。｜維基百科【請前往“返樸”公眾號觀看影片】

分形結構向我們展示出，簡單規則的無限重複，可以產生驚人的複雜性，也讓我們看到更真切的自然。

巍峨險峻的山峰也是分形結構。｜維基百科

正如“分形之父”曼德布洛特在《大自然的分形幾何學》一書中所說：“雲不只是球體，山不只是圓錐，海岸線不是圓形，樹皮不是那麼光滑，閃電傳播的路徑更不是直線。它們是什麼呢？它們都是簡單而又複雜的分形。”

參考資料

［1］https：//www。chemistryworld。com/features/turing-patterns/4991。article

［2］https：//www。chemistryworld。com/news/tiniest-turing-patterns-found-in-atomically-thin-bismuth/4013979。article

［3］https：//www。uec。ac。jp/eng/news/announcement/2021/20210709_3528。html

［4］Fuseya， Y。， Katsuno， H。， Behnia， K。 et al。 Nanoscale Turing patterns in a bismuth monolayer。 Nat。 Phys。 （2021）。 https：//doi。org/10。1038/s41567-021-01288-y

［5］https：//www。quantamagazine。org/ancient-turing-pattern-builds-feathers-hair-and-now-shark-skin-20190102/

［6］https：//www。quantamagazine。org/biologists-home-in-on-turing-patterns-20130325/

本文經授權轉載自微信公眾號“十點科學”。