算術-幾何平均數——高斯的發現
2021-08-20由 談數論理 發表于 農業
算術平均數和幾何平均數的不等式
“
算術-幾何平均數
”既不是算術平均數，也不是幾何平均數，由素有“數學王子”之稱的德國數學家高斯首先發現和研究。算術-幾何平均數，當然與“算術平均數”和“幾何平均數”這兩個概念有很深的關係。我們知道，但凡一個數學概念或定理，哪怕再簡單不過，只要和高斯扯上關係，那就一定不簡單了。帶著耐心，我們來看看高斯關於算術-幾何平均數的研究。
預備知識
對於兩個正實數a和b（不妨設0 我們有基本不等式， 等號當且僅當a=b時成立。 證明也不難： 從數的角度 從形的角度 一目瞭然。 正文 算術平均數和幾何平均數的概念相當簡單，絕大部分人認識到基本不等式這一步，可以說是功德圓滿了。繼續研究的話，無非兩個方向： 第一，由兩個數向三個、四個乃至任意n個正數的推廣： 第二，研究其他型別的平均，比如立方平均，平方平均，調和平均（倒數平均）以及它們之間的大小關係，得到更高階的基本不等式： 也就是“立方平均數≥平方平均數≥算術平均數≥幾何平均數≥調和平均數”。 上面的不等式同樣可以推廣到任意n個正數的情形。 絕大部分數學家走到這一步，也可以說是功德圓滿了。 高斯，卻另闢蹊徑。 平均，平均，既然叫做”平均數“，自然介於兩者之間，緩和了最大與最小。完整的基本不等式應該是： 由a和b，得到（a+b）/2和√ab，顯然 距離不到原來的一半。 令a1=√ab，b1=（a+b）/2，再計算它們的算術平均數和幾何平均數，又有 同樣地，它們之間的距離為 這個過程可以無限進行下去，也就是 那麼數列{an}單調遞增有上界，數列{bn}單調遞減有下界，且當n趨於無窮時， 於是數列{an}和{bn}收斂到相同的極限。 高斯就把這個極限叫做a和b的 算術-幾何平均數 （Arithmetic-Geometric Mean）。記為AGM（a，b）。 高斯當時只研究了算術-幾何平均數。但順著他的這個思路，我們當然還可以發明“算術-平方平均數”，“算術-調和平均數”，“平方-調和平均數”等概念。只需要在上面的迭代過程中，an和bn分別取an-1和bn-1不同的平均數即可。 這些平均數的數值都很容易計算，編個程式，迭代幾次就能得到精度相當高的結果，收斂很快。 比如對1和2，小編用MATLAB程式設計，得到它們的算術-幾何平均數約等於1。456791031046907，算術-平方平均數約等於1。540836469462489，平方-調和平均數約等於1。45458688740267。有興趣的話可以試著計算其他組合的平均數。在計算的過程中，小編髮現了一個很有意思的結論。限於篇幅，暫且不表。 本來兩個數的平均，算數平均也好，幾何平均也好，都很簡單，計算簡單，結果也簡單。對1和2，它們的算術平均是1。5，幾何平均是√2，平方平均是√（5/2），調和平均是4/3。然而對如此簡單的1和2，它們的算術-幾何平均數的賣相卻如此“醜陋”！1。456791031046907。。。。。看起來似乎還是個超越數！！！到底是何方神聖？ 高斯並不僅僅滿足於數值運算。很快，他就找到算術-幾何平均數AGM（a，b）的解析表達： 圓周率π，三角函式，微積分……等等，算術-幾何平均數怎麼會和這些概念扯到一起？？？ 當年，高斯22歲。 後續 研究這些平均數，有什麼用呢？ 對我們來說，可以作為一種數學遊戲，具有啟發思維的作用。也許，可以應用在某個我們暫時還不知道的領域。 但高斯，他研究算術-幾何平均數絕非一時的遊戲之作。 作為一個“能從九霄雲外的高度按照某種觀點掌握星空和深奧數學的天才“，高斯發現，算術-幾何平均數跟 橢圓積分 有很深的聯絡。 舉個例子，有不少人對雙紐線比較熟悉，雙紐線是平面上到兩個定點的 距離之積 為常數的動點軌跡（類比一下橢圓），長得像一個無窮符號。方程如下： 學過高數的人應該知道，雙紐線的面積是2a^2。但我們這裡來看 雙紐線的周長 。 為了簡單起見，在上圖中取a=1，它的極座標方程是 根據對稱性，其周長 利用高斯計算AGM（a，b）的公式，我們很容易得到該雙紐線的周長 為了紀念高斯，稱 為 高斯常數 （Gauss‘s Constant）。 雙紐線的周長計算其實是一種橢圓積分，而橢圓積分的反演就是橢圓函式。橢圓函式可以說是19世紀的數學界在複變函式論方面取得的最為輝煌壯觀的成果，沒有之一。 人類歷史上第一個被研究的橢圓函式，就是雙紐線周長的積分反演。而研究它的，正是高斯。 橢圓函式在數論方面的應用發展出了模函式、模曲線、自守形式等理論。上世紀末，懷爾斯證明了費爾馬大定理，應用的基本工具之一正是橢圓函式。 思考題 高斯22歲發現的定理 有人對證明感興趣嗎？證明僅僅用到了高等數學的基礎知識，沒有任何知識盲點。如果感興趣的話，私信或留言告訴我，分享你的思考證明過程。視情況，我將在下一篇貼出。
