定積分計算的國王法

這裡我們所說的“國王法”其實是一個簡單的線性變換。似乎它簡單得不值一提，但我們覺得這可能是一個挺有用的方法。在英文文獻裡稱之為“King Rule”或者“King’s Property”。我們不知道這個名稱的來源，只能按字面意思翻譯成“國王法”。

給定一個定積分，國王法說的是：

容易看出，這個公式可以透過線性變換得到

下圖是示意圖。

當a=0，國王法可以簡化成：

我們來看一個具體的例子：計算

這是2018年印度工學院入學考試（Joint Entrance Examination）的一道題。記

運用國王法得到

將兩式相加就得到

於是所求積分的值是π/4。

如果在上圖中函式f（x）是關於過a和b的中點x=（a+b）/2的垂直直線對稱的，那麼有

我們再來看一個例子：計算積分

首先，利用國王法得到

將上面二式相加得到

注意到在（0，π）上函式lnsin（x）關於中點x=π/2是對稱的，所以有

做一個簡單的變換就容易看出，

將上面兩式子相加得到，

再利用三角函式的性質

和一個簡單的線性變換，我們最後可以得到

即

最後讓我們留下三道題。第一道題可以讓我們看到國王法的力量。對任意的正整數n，計算定積分

讀者可能會注意到，上面的幾個例子全部與三角函式有關。我們最後看兩個其他的習題。

計算定積分

計算定積分

三個積分答案分別為：

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