什麼是吸引子：從數學定義到動力學方程迭代

導語

21世紀是複雜性的世紀，理解混沌是探索複雜性的關鍵環節。在科學、工程中，混沌與非線性方法已經成為研究動態系統的主要手段，加深了對氣候、生態、大腦、流行病等諸多複雜系統問題的理解，並在湍流、加密、資料分析以及生命科學中有廣泛應用。在社會、商業領域，混沌理論在通訊、交通、金融市場、疾病與資訊傳播等問題中亦有諸多啟發和應用。隨著混沌現象的進一步系統研究和廣泛應用，它正在從一套理論發展為一門科學。

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吸引子

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目錄

一、吸引子的提出動機

二、數學定義

三、吸引子的型別

四、吸引子表徵系統的演化

五、吸引域

六、偏微分方程

七、編者推薦

八、百科專案志願者招募

在動力系統的數學領域中，吸引子 attractor是系統在眾多初始條件下所趨向的一組數值。即使稍微受到干擾，與吸引子的值接近的系統值仍然能夠保證近似性。

在有限維繫統 finite-dimensional systems中，演化變數可用代數表示為 n 維向量。吸引子是n維空間中的一個區域。在物理系統中，n維可以是一個或多個物理實體的兩個或三個位置座標；在經濟系統中，它們可以是單獨的變數，如通貨膨脹率 inflation rate和失業率 unemployment rate。

如果演化變數是二維或三維的，則動態過程的吸引子可以用幾何方式表示為二維或三維（例如右圖所示的三維情況）。一個吸引子可以是一個點，一個有限的點集，一條曲線，一個流形，甚至是一個具有分形結構的複雜集合——我們稱之為奇異吸引子 strange attractor（見下面的奇異吸引子）。如果變數是標量，那麼吸引子就是實軸的子集。描述混沌動力學系統 chaotic dynamical systems的吸引子是混沌理論的重要成果之一。

動力系統在吸引子中的軌跡，若時間向前，不必滿足任何特殊的約束條件。軌跡可能是週期性的，也可能是混沌的。如果一組點是週期性的或混沌的，但其附近的流遠離該集合，則該集合不是吸引子，而是排斥點（或斥點） repeller（or repellor）

吸引子的提出動機

我們通常用一個或多個微分方程或差分方程描述動力系統。一個給定動力系統的方程可以表明它在任何給定短時間內的行為。為了確定系統在較長時間內的行為，我們往往需要透過分析手段或迭代 Iteration（通常藉助於計算機）來對方程進行積分。

物理世界中的動力系統往往產生於耗散系統 dissipative system：如果沒有某種驅動力，運動就會停止。（耗散可能來自內部摩擦，熱力學損失，材料損失等許多原因。）當耗散和驅動力趨於平衡時，初始瞬態 Initial transients會被消除，使系統進入其典型狀態。與典型狀態相對應的動力系統相空間的子集是吸引子——也稱為吸引部分。

不變集 Invariant sets和極限集 limit sets的概念與吸引子類似。不變集是在動力學作用下向自身演化的集合。不變集可能包含於吸引子。極限集是一組點，這些點存在一定的初始狀態，但是隨著最終時間趨近無窮遠時將任意接近極限集（即收斂到集合的每個點）。吸引子是極限集，但不是所有的極限集都是吸引子： 系統的某些點可能會收斂到極限集，但是稍微偏離極限集的點可能會被敲掉，永遠不會回到極限集附近。

例如，阻尼擺 damped pendulum有兩個不變點： 最小高度點x0和最大高度點x1。點x0也是一個極限集，因為軌跡向它收斂；點 x1不是一個極限集。由於空氣阻力的耗散，點x0也是吸引子。如果沒有耗散，x0就不會出現吸引子。亞里士多德 Aristotle認為物體只有在被推動時才會移動——這是耗散吸引子 dissipative attractor的早期表述。

有些吸引子是混沌的（參見奇異吸引子），在這種情況下，吸引子的任意兩個不同點的演化都會觸發指數發散軌跡。此時即使系統中有一點噪聲，預測也會因此而變得複雜。

數學定義

設t表示時間，設f（t，•）為指定系統動力學的函式。也就是說，如果a是n維相空間中一個表示系統初始狀態的點，那麼f（0，a）=a。對於t的正值，f（t，a）是該狀態在t個時間單位之後演化的結果。例如，如果系統描述了自由粒子在一維空間中的演化，那麼相空間是座標為（x，v）的平面 R2 ，其中x是粒子的位置，v是粒子的速度，a = （x，v），由以下給出

吸引週期-3旋迴及其對f（z） = z2 + c引數化的直接吸引域。三個最暗的點是3迴圈的點，它們按順序相互連線，從吸引域中的任何點迭代都會（通常是漸進的）收斂到這三個點的序列。

吸引子是相空間 phase space的子集 subset A——這需要具有以下三個條件：

“A”是“f”中的“前向不變”：如果“a”是“A”的元素，則對於所有“t”>0，“f”（“t”，“a”）也是。

存在一個“A”的鄰域稱為“A”的“吸引域”，表示為“B”（“A”），它由所有“B”點組成，這些點“B”在極限t → ∞“時“進入”A“。更正式地說，“B”（“A”）是相空間中所有點“B”的集合，具有以下特性：

對於“A”的任何開鄰域“N”，存在一個正常數“T”，使得對所有實數“t”>“T”，有f（t，b）∈N，。

“A”中不存在具有前兩個屬性的真（非空）子集。

由於吸引域包含一個含有“A”的開集合，所以每一個足夠接近“A”的點都會被“A”吸引。吸引子的定義使用了相空間上的一個度量，但得到的結果通常只取決於相空間的拓撲結構。在Rn的情況下，我們通常會使用歐氏範數 Euclidean norm。

在文獻中有吸引子的其他定義出現。例如，一些作者要求吸引子具有正測度（防止一個點成為吸引子），另一些作者則弱化了B（A）作為一個鄰域的要求。

吸引子的型別

吸引子是動力系統的相空間的一部分或子集。直到20世紀60年代，吸引子被認為是相空間的簡單幾何子集——像點、線、面和簡單的三維空間。更復雜的吸引子，不能被歸類為簡單的幾何子集，如拓撲野生集 topologically wild sets——雖然在當時是已知的，但卻被認為是精巧的異常事物。斯蒂芬·斯梅爾 Stephen Smale能夠證明他的馬蹄對映是穩定的，它的吸引子具有康托爾集 Cantor set結構。

不動點 fixed point和極限環 limit cycle是兩類簡單的吸引子。吸引子可以呈現出許多幾何形狀（相空間子集）。但當這些集合（或其中的運動）不能簡單地描述為基本幾何物件（例如，直線，曲面，球體，環面，流形）的簡單組合（例如，交集和並集）時，這個吸引子就被稱為“奇異吸引子”。

駐點

根據復二次多項式演化的複數的弱吸引不動點。相空間是水平復平面；縱軸測量訪問複平面中的點的頻率。複平面中峰值頻率正下方的點是不動點吸引子。

函式或變換的不動點是能夠透過函式或變換對映到自身的點。如果我們把動力系統的演化看作是一系列的轉變，那麼在每一轉變中，都可能會有一個點是固定的——當然也可能沒有。動力系統的最終狀態與該系統演化函式的吸引固定點相對應，例如阻尼擺的中心底部位置，玻璃杯中晃動水的水平線和平坦線，在碗的底部中心滾動的大理石。但是動態系統的不動點不一定是系統的吸引子。例如，如果裝有滾動大理石的碗被倒置，大理石在碗的頂部達到平衡狀態，碗的中心底部（現在是頂部）就是一個固定的狀態但不是一個吸引子。這等價於穩定平衡點和不穩定平衡點之差。如果一個大理石在一個倒碗（山）的頂部，這個在碗（山）的頂部的點是一個固定點（平衡），但不是一個吸引子（穩定的平衡）。

此外，由於物理世界動力學的現實性——包括非線性動力學的粘滯，摩擦，表面粗糙度，變形（彈性和塑性），甚至量子力學 quantum mechanics——至少擁有一個固定點的物理動力系統總是有多個固定點和吸引子。回到倒置碗頂上的大理石這一例子，即使碗看起來是完美的半球形，大理石是規範的球形，在顯微鏡下觀察時它們的表面實際上都十分複雜，它們的形狀在接觸過程中改變。任何物理表面都可以被視作一個由多個山峰、山谷、鞍點、山脊、峽谷和平原組成的崎嶇地形。在這個表面地形中有許多點（以及在這個微觀地形上滾動的同樣粗糙的大理石的動力系統）被認為是靜止的或不動的，其中一些被歸類為吸引子。

有限點數

在一個離散時間系統中，吸引子可以以有限數量點的形式出現——這些數量點可以被依次訪問。其中每個點都被稱為週期點。邏輯圖說明了這一點，根據其特定引數值，對於任何“n”值，可以有由2n點、3×2n點等組成的吸引子。

極限環

極限環是連續動力系統的週期軌道，它是孤立點。例如時鐘的擺動，以及休息時的心跳。（理想擺的極限環不是極限環吸引子的一個例子，因為它的軌道不是孤立的：在理想擺的相空間中，在一個週期軌道的任何一個點附近都有另一個點屬於不同的週期軌道，因此前一個軌道不具有吸引力）。

Van der Pol相圖： 一個吸引極限環

極限環

在處於極限迴圈狀態的系統的週期軌跡中可能存在多個頻率。例如，在物理學中，一個頻率可以決定一顆行星圍繞恆星執行的速率，而第二個頻率則描述了兩個天體之間的距離振盪。如果其中兩個頻率形成無理分數 irrational fraction（即它們是非公度），則軌跡不再閉合，極限迴圈變成極限環。如果存在Nt非公度頻率，這種吸引子被稱為Nt環面。例如這個2環面體：

與這個吸引子對應的時間序列是一個準週期序列： 具有非公度頻率的週期函式（不一定是正弦波）的離散取樣和。這樣的時間序列不具有嚴格的週期性，但其功率譜仍然只包含銳線。

洛倫茲奇異吸引子的圖， ρ = 28， σ = 10， β = 8/3

如果吸引子具有分形結構，則稱為“奇異”。這種情況通常發生在在當它的動力學系統符合混沌理論時，但是奇異的非混沌吸引子也存在。如果一個奇異吸引子是混沌的，表現出對初始條件的敏感依賴性，那麼在吸引子上兩個任意接近的備選初始點經過多次迭代後，都會指向任意相距很遠的點（受吸引子的限制），而在經歷其他次數的迭代之後，會指向任意接近的點。因此，具有混沌吸引子的動態系統是區域性不穩定但全域性穩定的：一旦一些序列進入吸引子，附近的點就會發散，但不會離開。

術語“奇異吸引子”由David Ruelle和Floris Takens提出，用來描述吸引子——產生於刻畫流體的系統的一系列分叉。奇異吸引子通常在幾個方向上可微，但有些吸引子與康託塵類似，因此不可微。在噪聲條件下，人們也能發現奇異吸引子，這可以用來支援Sinai-Ruelle-Bowen型的不變隨機機率測度。

動力學方程的引數隨著方程的迭代而變化，具體值可能取決於初始引數。其中一個例子是得到深入研究的邏輯圖，xn+1=rxn（1-xn） 圖中顯示了引數r各種值的吸引域。如果r=2。6，則x<0的所有起始x值將迅速使函式值變為負無窮大；x>0的起始x值將變為正無窮大。但是對於0

奇異吸引子的例子包括雙渦卷吸引子 double-scroll attractor、埃農吸引子 Hénon attractor、若斯叻吸引子 Rössler attractor和洛倫茲吸引子 Lorenz attractor。

吸引子表徵系統的演化

吸引子的吸引域是相空間的區域，迭代在這個區域上得到定義，使得該區域中的任何點（任何初始條件）都將漸近地迭代到吸引子中。對於一個穩定的線性系統，相空間中的每一點都在吸引域中。然而，在非線性系統中，有些點可能直接或漸近地對映到無窮大，而另一些點可能位於不同的吸引域中並漸近對映到不同的吸引子；其他初始條件則可能位於或直接對映到非吸引點或迴圈中。

分岔圖邏輯圖。引數“r”所有的吸引子顯示在區間03。6時，行為變得越來越複雜，中間穿插著簡單行為區域（白色條紋）。

動力學方程的引數隨著方程的迭代而變化，具體值可能取決於初始引數。一個例子是得到深入研究的邏輯圖，xn+1=rxn（1-xn），圖中顯示了引數r各種值的吸引域。如果r=2。6則x<0的所有x值將迅速使函式值變為負無窮大；x>0的起始x值將變為正無窮大。但是對於0

齊次形式的單變數（單變數）線性差分方程 xt=axt-1從除0以外的所有初始點|a|>1發散到無窮大；沒有吸引子，因此沒有吸引域。但是如果|a|<1，則數線圖上的所有點漸進地（或在0的情況下直接）趨向0；0是吸引子，整個數線是吸引域。

吸引域

同樣地，動態向量X中的線性矩陣差分方程，如果a的最大特徵值絕對值大於1，則動態向量X中的所有元素 Xt=AXt-1 都將發散到無窮大；不存在吸引子和吸引域。但如果最大特徵值小於1，則所有初始向量將漸近收斂於零向量，即零為吸引子；潛在初始向量的整個n維空間就是吸引域 basin of attraction。

吸引子的吸引域是相空間的區域，迭代在這個區域上得到定義，使得該區域中的任何點（任何初始條件）都將漸近地迭代到吸引子中。對於一個穩定的線性系統，相空間中的每一點都在吸引域中。然而，在非線性系統中，有些點可能直接或漸近地對映到無窮大，而另一些點可能位於不同的吸引域中並漸近對映到不同的吸引子；其他初始條件則可能位於或直接對映到非吸引點或迴圈中。

類似的特徵也適用於線性微分方程。標量方程dx/dt=ax使得除0以外的所有 x 的初始值在 a > 0時發散到無窮大，但在 a < 0時收斂到吸引子，使整條數軸成為0的吸引域。如果矩陣A的其中一個特徵值是正的，則該矩陣系統dX/dt=AX從除零向量以外的所有初始點發散； 但如果所有特徵值都是負的，則零向量就是吸引域，它是整個相空間的吸引子。

線性方程或系統

如果除了0以外的所有初始點|“A”>>1，單變數線性齊次方程 xt=axt-1（差分方程）發散到無窮大；沒有吸引子，因此沒有吸引域。但如果 |a| < 1，則數軸上的所有點漸進（或在0的情況下直接對映）到0；0是吸引子，整個數軸都是吸引域。

與線性系統相比，非線性方程或系統有更多樣的行為。一個例子是非線性表示式根的牛頓迭代法。如果表示式有多個實根，則迭代演算法的某些起始點會漸近地靠近其中一個根，而其他起始點會得出另一個根。表示式根的吸引域通常並不簡單，最接近某一個根的點都被對映到那裡，從而形成由附近點組成的吸引區。吸引域在數量上可以是無限的，大小上可以任意小。例如，對於函式f（x）=x3-2x2-11x+12，在連續的吸引域中以下初始條件：

同樣的，針對在動態向量X中的線性矩陣差分方程（在平方矩陣a‘中表現為齊次形式Xt=AXt-1，如果A的最大特徵值在絕對值上大於1，則動態向量的所有元素將發散到無窮大；沒有吸引子，也沒有吸引域。但如果最大特徵值小於1，則所有初始向量將漸近收斂於零向量，即零為吸引子；潛在初始向量的整個n維空間就是吸引域。

用牛頓法求解 x5 − 1 = 0。相似顏色區域中的點對映到同一個根； 顏色較深意味著需要更多的迭代來收斂。

類似的特徵也適用於線性微分方程。標量方程dx/dt=ax會導致x的所有初始值（除了0）發散到無窮大，如果“a”<0，則收斂到值為0的吸引子，使整條數線成為0的吸引域。如果矩陣A的任何特徵值都為正，則矩陣系統的dX/dt=AX會從除零向量外所有的初始點發散；但如果所有特徵值都為負，則零點向量是一個吸引子，其吸引域是整個相空間。

非線性方程或系統

與線性系統相比，非線性方程或系統可以產生更多行為。一個例子是非線性表示式根的牛頓迭代法。如果表示式有多個實根，則迭代演算法的某些起始點會漸近地靠近其中一個根，而其他起始點會得出另一個根。表示式根的吸引域通常並不簡單，最接近某一個根的點都被對映到那裡，從而形成由附近點組成的吸引區。吸引域在數值上可以是無限的，可以任意小。例如對於函式f（x）=x3-2x2-11x+12，以下初始條件在連續的吸引域中

2。35287527收斂到4；

2。35284172 收斂到 -3；

2。35283735收斂到4；

2。352836327 收斂到 -3；

2。352836323 收斂到 1。

複雜平面中的吸引域。相同顏色區域中的點對映到同一根；較暗表示需要更多迭代才能收斂。

牛頓法也可以應用於求複變函式的根。在複雜的平面上，每個根部都有一個吸引域； 這些區域可以如圖所示繪製出來。可以看出，為一個特定的根而組合成的吸引域可以有許多不相連的地區。對於許多複雜函式來說，吸引域的邊界為分形。

對於具有周期邊界條件的三維不可壓縮方程 Navier-Stokes equation，如果它有一個全域性吸引子那麼這個吸引子將是有限維的。

牛頓方法也可以應用於複雜分析以找到它們的根。每個根在複合平面中都有一個吸引域；如圖所示，可以繪製這些盆地的地圖。可以看出，特定根的組合吸引域可以有許多斷開的區域。對於許多複雜函式，吸引域的邊界為分形。

偏微分方程

拋物型偏微分方程可能具有有限維吸引子。在某些情況下，方程的擴散部分會阻抑更高的頻率，觸發一個全域性吸引子。金茲堡－朗道方程 Ginzburg-Landau equations 、 K-S方程 Kuramoto-Sivashinsky equations和二維強迫納維-斯托克斯方程 forced Navier–Stokes equation都具有有限維的全域性吸引子。

對於具有周期性邊界條件的三維不可壓縮 Navier-Stokes 方程，如果它具有全域性吸引子，則該吸引子將是有限維的。

原標題：《什麼是吸引子：從數學定義到動力學方程迭代》